唯一矩阵（UM）

Unique Matrix

下面我们来看另外一种需要多种数字组合使用的致命结构形式。

唯一矩阵的基本推理

如图所示。可以看到，这个结构用到了 9 个单元格。9 个单元格里仅包含 4 种类型的数字 1、2、4、9。虽然看起来很混乱，但你可以视为是 9 个单元格全都是 1、2、4、9 的状态。

我要告诉你的是，这个也是个致命结构。因此，r5c1 需要规避出现致命结构的矛盾，所以 r5c2 此时必须填 3，因此本题的结论是 r5c2 <> 49。

这个技巧称为唯一矩阵（Unique Matrix，简称 UM）。该技巧在国外亦有研究，但并未对这个技巧有一个明确的叫法。这里给的是我自己所取的名字；之前的教程版本也使用的此名称命名，继续沿用。要注意名称要和唯一矩形区分开，不过在特殊环境下，可以视为是唯一矩形的超集。不过，这一点需要以后特殊说明才行。

证明

下面我们给出这个技巧是致命结构的证明。

证明这个结构较为麻烦。我们提取这个结构的示意图。

如图所示。这个结构整体是对称分布的，我们不妨随意取一个数分类讨论。比如我们按 4 的分布情况进行讨论。显然，数字 4 有四种情况：

这个结构整体都没有填 4 的席位；
这个结构最终只填 1 个 4；
这个结构最终只填 2 个 4；
这个结构填了 3 个 4。

因为是分布在 3 个不同的宫，所以显然不可能会有 4 次及以上的 4 出现。那么就这四种情况。我们挨个讨论。

情况 1：没有 4 填入

如果没有 4，结构将会退化为 9 个只有 1、2、3 三种数的情况。

如图所示。这显然是“致命”的，因为单看其中任意两个行就已经是拓展矩形的矛盾情况了。

情况 2：有一个 4 填入

有一个 4 的填入也是致命的。

如图所示。我们随便安放一个 4 填入到一个位置上，余下的单元格都只有 1、2、3 三种候选数。这仍然包含拓展矩形的结构在其中。

情况 3：有两个 4 填入

如图所示。因为结构是对称的，所以我们随意填在两个位置就行。只要它是能证明得到的，那么其他的情况也都可以。

如图所示。我们给 c5 安排字母假设，假设 r456c5 分别填 $a$ 、 $b$ 和 $c$ （此时 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 均是 1、2、3 里的数字，且互相都不相同）。

然后我们转去看 r56c1。这两个单元格受到 r56c5 的填数影响，所以只能填固定的数字了：

r5c1 此时只能填 $a$ 或 $c$ ；
r6c1 此时只能填 $a$ 或 $b$ 。

我们按 r5c1 讨论一下就行。子情况 1——先假设 r5c1 此时填 $a$ ，于是 r6c1 就只能填 $b$ 。

如图所示。然后，因为我们确保里面只能有两处 4，所以右边 r45c9 只能安排 $a$ 、 $b$ 或 $c$ 的填写。显然，r5c9 只能填 $c$ ，而 r4c9 只能填 $b$ 。

如图所示。这样我们就只能得到这样的结果。显然，r46c19 是唯一矩形的矛盾情况。所以这个子情况矛盾。

接着看回子情况 2（让 r5c1 填 $c$ ）。

如图所示。现在假设 r5c1 填 $c$ 。此时 r6c1 无法出解。不过别着急，我们先看 r5c9，它能出 $a$ 。

如图所示。现在我们没办法继续了。但是我们发现，如果 r6c1 填 $b$ 的话，r56c15 会构成 $b$ 和 $c$ 的唯一矩形的矛盾，所以 r6c1 只能填 $a$ ；同理，如果 r4c9 填 $b$ 的话，r45c59 会构成 $a$ 和 $b$ 的唯一矩形的矛盾，所以 r4c9 安排填 $c$ 。