# 唯一矩阵（UM）下面我们来看另外一种需要多种数字组合使用的致命结构形式。 ## 唯一矩阵的基本推理

如图所示。可以看到，这个结构用到了 9 个单元格。9 个单元格里仅包含 4 种类型的数字 1、2、4、9。虽然看起来很混乱，但你可以视为是 9 个单元格全都是 1、2、4、9 的状态。我要告诉你的是，这个也是个致命结构。因此，`r5c1` 需要规避出现致命结构的矛盾，所以 `r5c2` 此时必须填 3，因此本题的结论是 `r5c2 <> 49`。这个技巧称为**唯一矩阵**（Unique Matrix，简称 UM）。该技巧在国外亦有研究，但并未对这个技巧有一个明确的叫法。这里给的是我自己所取的名字；之前的教程版本也使用的此名称命名，继续沿用。要注意名称要和唯一矩形区分开，不过在特殊环境下，可以视为是唯一矩形的超集。不过，这一点需要以后特殊说明才行。 ## 证明下面我们给出这个技巧是致命结构的证明。证明这个结构较为麻烦。我们提取这个结构的示意图。

如图所示。这个结构整体是对称分布的，我们不妨随意取一个数分类讨论。比如我们按 4 的分布情况进行讨论。显然，数字 4 有四种情况： * 这个结构整体都没有填 4 的席位； * 这个结构最终只填 1 个 4； * 这个结构最终只填 2 个 4； * 这个结构填了 3 个 4。因为是分布在 3 个不同的宫，所以显然不可能会有 4 次及以上的 4 出现。那么就这四种情况。我们挨个讨论。 ### 情况 1：没有 4 填入如果没有 4，结构将会退化为 9 个只有 1、2、3 三种数的情况。

如图所示。这显然是“致命”的，因为单看其中任意两个行就已经是拓展矩形的矛盾情况了。 ### 情况 2：有一个 4 填入有一个 4 的填入也是致命的。

如图所示。我们随便安放一个 4 填入到一个位置上，余下的单元格都只有 1、2、3 三种候选数。这仍然包含拓展矩形的结构在其中。 ### 情况 3：有两个 4 填入

如图所示。因为结构是对称的，所以我们随意填在两个位置就行。只要它是能证明得到的，那么其他的情况也都可以。

如图所示。我们给 `c5` 安排字母假设，假设 `r456c5` 分别填 $$a$$、$$b$$ 和 $$c$$（此时 $$a$$、$$b$$ 和 $$c$$ 均是 1、2、3 里的数字，且互相都不相同）。然后我们转去看 `r56c1`。这两个单元格受到 `r56c5` 的填数影响，所以只能填固定的数字了： * `r5c1` 此时只能填 $$a$$ 或 $$c$$； * `r6c1` 此时只能填 $$a$$ 或 $$b$$。我们按 `r5c1` 讨论一下就行。子情况 1——先假设 `r5c1` 此时填 $$a$$，于是 `r6c1` 就只能填 $$b$$。

如图所示。然后，因为我们确保里面只能有两处 4，所以右边 `r45c9` 只能安排 $$a$$、$$b$$ 或 $$c$$ 的填写。显然，`r5c9` 只能填 $$c$$，而 `r4c9` 只能填 $$b$$。

如图所示。这样我们就只能得到这样的结果。显然，`r46c19` 是唯一矩形的矛盾情况。所以这个子情况矛盾。接着看回子情况 2（让 `r5c1` 填 $$c$$）。

如图所示。现在假设 `r5c1` 填 $$c$$。此时 `r6c1` 无法出解。不过别着急，我们先看 `r5c9`，它能出 $$a$$。

如图所示。现在我们没办法继续了。但是我们发现，如果 `r6c1` 填 $$b$$ 的话，`r56c15` 会构成 $$b$$ 和 $$c$$ 的唯一矩形的矛盾，所以 `r6c1` 只能填 $$a$$；同理，如果 `r4c9` 填 $$b$$ 的话，`r45c59` 会构成 $$a$$ 和 $$b$$ 的唯一矩形的矛盾，所以 `r4c9` 安排填 $$c$$。

如图所示。这样我们得到了结果。我们发现，`r4c59`、`r5c19` 和 `r6c15` 就算规避了唯一矩形，也没能逃过唯一环的矛盾。所以，`r5c1` 在整个情况 3 里怎么填都矛盾，所以，这个结构在填两次 4 的时候必然存在这么一个格子会引发致命，所以它肯定在这个情况下也是致命的。 ### 情况 4：有三个 4 填入最后一个情况是证明三次 4 填入。

如图所示。我们不妨就把 4 放在 `r4c1`、`r5c5` 和 `r6c9` 上。显然，余下的单元格确定不了，我们还是得继续讨论。

如图所示。我们看到 `r5c1` 这里，如果 $$a$$ 填入就会让 `r45c15` 直接形成唯一矩形的矛盾，所以它只能填 $$b$$ 或 $$c$$，同理，`r4c9`、`r5c9` 和 `r6c1` 也都分别可以推算出来填入的数字。 * `r4c9` 只能是 $$b$$ 或 $$c$$（直接排除得到）； * `r5c1` 只能是 $$b$$ 或 $$c$$（$$a$$ 不能填，否则唯一矩形矛盾）； * `r5c9` 只能是 $$a$$ 或 $$c$$（$$b$$ 不能填，否则唯一矩形矛盾）； * `r6c1` 只能是 $$a$$ 或 $$c$$（直接排除得到）。因为 `r4c9` 和 `r5c1` 剩余数字是一样的，`r5c9` 和 `r6c1` 剩下的数字也是一样的，所以我们不妨配对讨论。这里讨论一边就行，如 `r4c9` 和 `r5c1` 这一对。这一对因为都是 $$b$$ 和 $$c$$，所以组合起来有 4 个情况讨论。我们挨个讨论一下就行。

如图所示。这是子情况 1——让 `r4c9` 和 `r5c1` 同时填 $$b$$。这显然是形成了唯一环的矛盾。

如图所示。这样填了之后不难通过排除得到 `r5c9` 和 `r6c1` 都是 $$a$$ 的结果。然后就形成了唯一环的矛盾。

如图所示。子情况 3 填入之后，`r6c1` 无法得到确切的填入情况。但是，此时两种填法必然都会走向矛盾。

如图所示。这个情况也是都会导向矛盾。那么可以看到，这个结构不论有几个 4，都会造成余下的单元格形成矛盾形态，所以这个结构是致命结构。 ## 一个例子下面我们来看唯一的一个例子。这个技巧出现比较少，所以我库存就这两个例子（算上开头的那个例子）。

如图所示。我们不难构造出这个链。尤其是 `8r7c3=2r78c5` 这个强链关系。因为两个节点同假的时候，余下的结构 `r789c359` 将构成唯一矩阵的矛盾，所以强链关系是成立的（不同假）。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://sudoku.kazusa.tech/deadly-pattern-theory/05-unique-matrix.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.