# 飞鱼的基本推理 欢迎各位来到新的篇章。这个篇章的内容只阐述一个数独技巧，但它的理解成本比较高，还具备非常多的变体，因此在实战中并不实用。这个技巧主要还是用于研究其推理逻辑。 另外，这种技巧规模一般较大，所以在普通的题目里即使存在，也较难进行分析和推理，所以即使这个技巧存在于题目里可以用于删数，大多也不会在前面只依靠链就可以解题的题目里使用。 ## 一个看起来就很复杂的题

飞鱼

如图所示。 请将视野关注到 `c258` 上来。我们把 `c258` 三列的所有 27 个单元格分成两组看。其中一组是图中涂色了的 18 个单元格，而余下 9 个没有涂色、但也在这三列里的 9 个单元格则作为另外一组。 然后我们还可以看到 `r5c46` 两个单元格只有候选数 1、3、6 三种数字。这看起来有点像待定数组，不过后续会告诉你这跟待定数组暂时没有关系，只是这个题恰好有三种数字罢了。不过，这三个数字确实会对刚才 27 个单元格的填数状态有一定影响。 请仔细观察图中 `c258` 里涂色的这 18 个单元格，并着重观察数字 1、3、6 的分布。不难发现，显然在 18 个单元格里，数字 1 只能在这 18 个单元格里填入最多两个，而 3 和 6 也都只能最多填入进去两个。因为 `c258` 一共有三列，所以按理说，数字 1、3、6 都必须出现三次才对，但涂色的 18 个单元格最多只能允许往里塞 2 个 1、2 个 3 和 2 个 6，所以余下的 9 个未涂色的单元格里就必须最少填一个 1，一个 3 和一个 6，这样三列才能凑齐填入三次 1、3、6 的情况。 > 所谓“最多出现 2 次”的意思是，你往里放这个数字，你会发现因为就三个不同的列，你要保证数字能不违反数独的基础规则的前提下，尽可能多地往里面塞这个数，那么这个最多的情况只能是 2 个。比如 1 出现的单元格有 `r1c58` 和 `r9c25` 四个单元格。最少肯定填 1 个就行；但最多就只能把 2 安排在不同行的两处位置，但你如果要往里塞 3 个 1，这肯定是放不下的。所以我们就认为这个 1 最多只能填两次。同理，3 和 6 也都这么去看。 好的。下面我们假设 `r5c46` 的填数。因为它只能填两个数进去，所以不妨我们暂时用字母表示。比如 `r5c46` 分别填了 $$a$$ 和 $$b$$（此时 $$a$$ 和 $$b$$ 是 1、3、6 的其中两个数）。那么，显然按照代数的排除操作，`r5c28` 和 `r46c5` 则都不能填 $$a$$ 和 $$b$$ 了。于是，在未涂色的 9 个单元格里，只剩下预留的两处单元格 `r4c2` 和 `r6c8` 是可以填 $$a$$ 和 $$b$$ 的地方了。 > 可能你想问我此时除了 $$a$$ 和 $$b$$ 外的余下那个数字还能怎么填，这其实反倒无关紧要。因为 `r5c46` 并未限制 $$c$$（最后那个数字）的填数，所以很显然 $$c$$ 是可以随意找到合适的位置放进去的。换言之，刚才说的 `r46c5` 和 `r5c28` 这些被排除掉的位置并不会因为 `r5c46` 的填数受到任何影响，所以他们都可以放 $$c$$。 总之，我们只能让 `r4c2` 和 `r6c8` 填 $$a$$ 和 $$b$$。那么很明显，因为 $$a$$ 和 $$b$$ 是 1、3、6 的其二，所以这两个单元格自然也必须是 1、3、6 的其二。因此，`r4c2 <> 24` 便是本题的结论。 这个技巧我们称为**飞鱼导弹**，简称**飞鱼**（Exocet）。这个技巧名非常的酷炫，但难度也是非常的“酷炫”。整个这么大的结构结果就能删一两个候选数，太难受了。不过这个技巧后续会得到一定程度的推广，到时候可能会有更多的删数，不过我们还是循序渐进慢慢学。 下面我们再来看一个例子。

飞鱼，另一个例子

如图所示。这个例子和刚才的一样，不过得横着看。这次选取的是三行：`r347`。然后结合 `r12c3` 的填数得到 `r47c1` 只能是 1、2、3 的其二，进而得到结论。 这个例子就自己照着推理一遍就行，逻辑几乎是一样的，就不赘述了。 ## 基本术语 飞鱼技巧是一个系列，它的结构里很多“部件”都可以参与拓展和推广，进而得到不一样的删数。为了之后对结构描述得更为具体一些，这里我们列举一下这个技巧的相关术语。 * **基准单元格**（Base Cells 或 Base）：例子里配色为绿色的两个单元格。这两个单元格用于推出目标结论之前作填数假设用。基准单元格最多只能有两个，但可以只有一个单元格，这一点之后说明； * **目标单元格**（Target Cells 或 Target）：例子配色为橘色的两个单元格。这两个单元格用于得到结论。一般只有两个，但可以更多，最多可以到 4 个，最少 1 个，这一点之后说明； * **交叉单元格**（Crossline Cells 或 Crossline）：例子里配色为蓝色的 18 个单元格。指的是结构需要讨论基准单元格里所给出的全部数字的排列的那 18 个单元格。注意它不是指 27 个全部的格子，只指代图中 18 个涂色的部分。不过变体可能会用四个行列而非三个，所以 18 可能会变为 24，这一点之后说明。 还有一些其他的术语，我们将在之后遇到使用的时候再作出说明，这里全都一股脑扔出来了也记不住。 ## 基准格里包含 4 个数字的飞鱼 下面我们来看两种基准格里不止 3 个数字的情况。

基准格含有 4 个数的飞鱼

如图所示，这次基准单元格有 4 种不同的数：2、5、6、7。虽然两个单元格里不再像之前一样，两个单元格候选数状态都是一样的，这次左边缺 2、右边缺 5，但这并不妨碍我们继续后续的推理，所以无关紧要。 我们关注的交叉单元格是图中 `r456789c247` 这 18 个单元格。观察 2、5、6、7 的分布，显然这 18 个单元格里，2、5、6、7 全都只能最多出现两次。那么，和之前一样，`r123c247` 这 9 个单元格里，就必须让 2、5、6、7 全都最少放一次才行。 那么，假设基准单元格 `r1c56` 填的是 $$a$$ 和 $$b$$，那么不难根据排除效果可得，$$a$$ 和 $$b$$ 就只能填在 `r2c2` 和 `r3c7` 之中。所以，`r2c2` 和 `r3c7` 就不能填除了 2、5、6、7 以外的别的数字，故这个题的结论就是 `r2c2 <> 3`。 我们再来看一个例子。

4 个数的另一个例子

如图所示。这次基准单元格是 `r89c3`，目标单元格是 `r3c1` 和 `r5c2`，交叉单元格是 `r357c456789` 这 18 个单元格。 这个就自己看了。 ## 交叉单元格里含明数 正如标题所说，一个飞鱼结构可以用于删数，不一定要求交叉单元格里只是单纯的候选数排列。

交叉单元格里含有明数

如图所示。从上帝视角来看删数肯定是删 1、2、4、5 以外的数，所以结论 `r6c1 <> 8` 就不用多解释了。主要是看整个推理流程里为什么 `r7c1` 是明数 5 也可以使用飞鱼技巧。 首先，要检查的数字是基准单元格 `r5c89` 里的 1、2、4、5。对于 1、2、4 都好说，但是 5 确实不是最多两个——它只能最多一个，并且出现在 `c7` 上。但是，我们整体去思考这个事情你就会觉得问题不大了：交叉单元格是不计算 `r456c147` 的。倘若我们整体看 `c147` 这三列的话，显然数字 5 按数独规则就必须填 3 次进去。注意，这里说的是完整的三个列，所以必须是恰好有三次 5 的出现。 那么，刨去 `r456c147` 的话，5 除了处于 `c7` 上的交叉单元格里可以放以外，能纳入 5 的计算的就只有明数 `r7c1` 这个 5 了。它理应要算一次填入，因为“三个完整的列要填三次”是有它的一席之地的，所以，这么算的话，在交叉单元格里，`c1` 恰好有一个 5 了，而 `c7` 出现的 5 确实只能要么不填要么填一个 5。整个交叉单元格里 `c4` 就没有填 5 的地方，所以，这么看起来，5 仍然是最多填两次。 那么，既然如此，`r6c1 <> 8` 的结论仍然是成立的——所有数字 1、2、4、5 都只能在交叉单元格里最多填两次，这个结论可以形成，后续推导也就可以继续进行了，故删数是成立的。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://sudoku.kazusa.tech/exocet/01-reasoning-of-exocet.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.