> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://sudoku.kazusa.tech/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://sudoku.kazusa.tech/full-marking-techniques/06-unique-loop/01-reasoning-of-unique-loop.md). # 唯一环的基本推理 ## 类型 1

如图所示。我们把唯一矩形的结构从 4 个单元格拓展到 6 个单元格，但是思路没有多大的变化。假设我们让其中的 `r1c9(4)` 不存在，则它也会只剩下 2 和 9，于是按照图中的环线按次序填数。可以看到，环线上每相邻的两个单元格都是同行、同列或者同宫的，因此相邻的单元格肯定不能填入相同的数字；其次，因为是 6 个单元格，是偶数个单元格，也就意味着我们填满全部的单元格后，2 和 9 会交替形成环状填数结构，而不会出现两个相邻单元格最终填数一样的情况。这是这个推理的核心点。因为它会构成关于 2 和 9 的交替填数模式，所以它不会自动出现矛盾；正是因为这点，我们可以将这 6 个单元格里，所有填入 2 的位置都改成 9，而所有填 9 的位置又改成 2。这样我们就可以得到第二种填法。和唯一矩形的思路一样，当我们填充了这些 2 和 9 后，由于结构的特殊性，所有用到的 9 个区域（即 `r123`、`c159` 和 `b123`）在未填写数字前，都有 2 和 9 的显性数对结构。因此内部填入 2 和 9 并不会改变本身显性数对所产生的结论（所在行列宫的别处都不能填 2 或 9）；而别处其他的空格也都不会因为 2 和 9 的填写而产生任何的影响。这一点很重要，它和唯一矩形除了规格上不同，其他地方则完全一样。得到这一点后我们就可以知道，这个结构它也能形成和唯一矩形一样的两种填法，而不影响盘面任何其他的地方的候选数的变动，所以，这种结构也可以形成那种矛盾。就像这样：

于是，假设就并不成立。我们最初的假设是让 `r1c9(4)` 不存在（换言之就是 `r1c9` 只保留 2 或 9 两个候选数）。既然它不对，那么对的结论就自然是 `r1c9 <> 29` 了。所以，这便是这个技巧可以得到的结论。我们把这个结构称为**唯一环**（Unique Loop，简称 UL），即唯一矩形从结构上的推广；而由于它和唯一矩形类型 1 非常相似，所以我们把这个结构称为唯一环的类型 1。下面我们来看下类型 2、3、4。 ## 类型 2

如图所示。因为本身唯一环结构用的格子就先天比唯一矩形要多，所以唯一环就不分所谓类型 2 还是类型 5 了，统统都归纳在类型 2 里。假设橘色的三个候选数 7 全部从盘面里消失，则 6 个单元格将只剩下 8 和 9 两种候选数，因为前文对其简要说明过它是会矛盾的，所以这里我就省略过程了。由于它会形成矛盾，所以三个橘色的 7 不能全部消失；换言之就是说至少有一个是正确的填数。那么，我们可以得到的是 `r2c9 <> 7` 的结论——只有这个位置进行假设填入会同时让三处 7 全部消失。我们把这个用法称为唯一环的类型 2。 ## 类型 3 ### 标准摆放

如图所示。`r1c3(5)` 和 `r2c3(25)` 三个候选数不能同时从盘面里消失，否则会出现矛盾。所以我们只能拿出其中一个数，和 `r8c3` 搭配起来构成显性数对。所以这个题的结论就是，`c3` 会形成显性数对，删除掉 `r6c3(2)`。这个就是类型 3 的用法。 ### 特殊摆放和前面的例子不同，我这里补充一个比较奇怪的例子。因为毕竟是唯一环，所以它产生的和唯一矩形使用同一侧的两个单元格的这种摆放方式会有所不同。

如图所示。这个图里的 1 和 7 作为额外数字出现，会和 `r9c3` 构成显性数对。不过这个地方要注意的是，它一连同时借用了两个格子 `r8c3` 和 `r9c5`。这很显然，它俩并不在同一个行、列、宫，因此我们无法知晓它俩填入 1 和 7 的状态；但是，我们可以借用 `r9c3` 得知这一点。显然，`r8c3` 和 `r9c5` 是不可能同时填入 6 和 9 的，因为它会直接造成整个唯一环的环路上只有 6 和 9，出现矛盾；而又因为 `r9c3` 只能填 1 或 7，所以 `r8c3` 和 `r9c5` 势必会有至少一个单元格填 1 或者 7 的另外一个数。所以总体情况就是，`r8c3` 和 `r9c5` 不论有一个格子填 1 或 7，还是都填 1 或 7，总归会有一个数和 `r9c3` 填的数形成显性数对。如果 `r8c3` 填了，那么 `r89c3` 就会构成数对；如果是 `r9c5` 填了，那么 `r9c35` 就会构成数对。反正都有数对，所以 `r9c2` 自然就不可能是 1 或 7，因为这俩数对都能删这个单元格填的 1 或 7。所以，这次我们的结论是 `r9c2 <> 7`。 ## 类型 4

如图所示。我们发现 `b3` 里存在关于 2 的共轭对，且恰好在结构用到的其中两个单元格上。如果我们尝试往这两个单元格的其中任意一个填入 7，则沿着环线绕一圈得到 2 和 7 的填数。最终 `r12c8` 起始假设的另外一边因为 2 的共轭对的关系，必须填 2，于是就会出现矛盾。所以这个题的结论就是 `r12c8 <> 7`。我们把这个称为类型 4。鉴于结构的特殊性，唯一环也就不分什么类型 6 和隐性唯一环了。所以到这里就说完了唯一环的四种情况。