分情况讨论和析取消去规则

Proof of Cases & Disjunction Elimination

这个板块主要介绍的是前面教程里用到的一些更靠近数学知识的一些逻辑，以及他们在数学上严格表达的内容。

本文先介绍的是第一种用到的逻辑：分情况讨论（Proof of Cases）。分情况讨论也叫分类讨论，指的是将一个需要证明的东西按多个情况拆解开来，并逐个击破。

基本规则

在之前的教程内容里，经常用到这样的证明：

• 如果情况 A 成立的话，则某个结论会得到；

• 如果情况 A 不成立的话，则这个结论仍然可以得到。

由于情况 A 的正反两面涵盖了全部情况，但由于他们均可得到相同的结论，所以这个结论必然是正确的。这就是一种典型的分情况讨论的思路。

不过，从逻辑学上讲（严格来说是叫命题逻辑），我们把这个说法称为析取消去规则（Disjunction Elimination）。其中“析取”表示对两个或多个情况取“并集”，也就是联立情况的意思。这是个数学上的术语，符号记作 $\lor$，读作“并”；“消去”则指的是在推导下均可达成相同结论，进而归并情况，消去冗余的部分。

我们不妨举个例子。

• 如果我在家里，我会戴着手表；

• 如果我走出门，我也会戴着手表。

所以，我一直都戴着手表。

可以通过这个说法看出，它同时涵盖了家里和出门两种状态，而这个显然是“我”的全部可能的地点的取值，因此我们可归纳为“我”的地理位置的所有情况。

因为全部情况下都戴着手表，所以会一直戴着手表。

当然，也有读者会觉得“我”并非随时都戴着，例如睡觉什么的。如果你这么想的话，那么你还是没有理解它想表达的“所有情况”的含义。

我们再拿一个比较数学一点的命题举个例子。

• 如果 $x$ 为负数，则 $x^2$ 为正数；
• 如果 $x$ 为正数，则 $x^2$ 仍然为正数。

所以，$x$ 只要不为 0，则 $x^2$ 始终都是正数。

我们只需要归纳出一个情况的全部状态，并逐个列举后得到一致结论时，我们就可认为这个结论是正确的。这个称为析取消去规则。

数学表达

在命题逻辑里，析取消去规则是有严格的表达方式的。

首先，数学上把可以判断对错的说法称为一个命题（Proposition），一般用大写字母 $P$ 表示；如果多个命题就按字母顺序往后排即可。然后，我们把命题可以得到的结论也直接称为结论（Conclusion）。显然，如果单独看结论本体的话（例如“我会戴着手表”和“$x^2$ 为正数”）均是正确的可用来判断对错的句子，所以结论也是一个个的命题，所以结论就没有单独的字母表示，而还是用命题的大写字母表示。

如果我们想要表示命题和结论的这种映射关系的话，我们一般是用横线或推出符号 $\rightarrow$ 表示这种关系。这里因为有多个条件联立，所以我们用横线表示方式避免重复的箭头看起来不好看：

$$\frac{P\rightarrow R, Q\rightarrow R, P \lor Q}{\therefore R}$$

这是抽象出来的式子表示。其中的 $P$ 和 $Q$ 是两个命题，而 $R$ 是结论；而 $P \lor Q$ 表示 $P$ 和 $Q$ 两个命题联立的意思。另外，数学上用 $\therefore$ 来表示“所以”，不过在命题逻辑里因为横线上方是命题部分，下方是结论部分，所以一般也可省略不写，即“$\therefore R$”也可以直接记作“$R$”。