可规避矩形（AR）

Avoidable Rectangle

最后更新于10天前

可规避矩形（AR）

Avoidable Rectangle

类型 1

如图所示。我们仍旧关注于唯一矩形那种摆放形式的四个单元格，不过这次我们不看空格，而是把视角聚焦于填入数里。

这次，r78c59 里其中三个单元格都填了数字 4 或 9，只有一个是空格。假设我们让 r7c9 = 4，则我们会发现四个单元格已经填成 4 和 9 的类似唯一矩形的矛盾填数状态。不过，这次是已经填好了数字，那么它能否出现矛盾呢？

实际上也是可以的。我们之前在残缺的那一讲内容里提到过，残缺的唯一矩形不影响推理，因为实际缺少的候选数由于唯一矩形的摆放方式，是可以补回去的，它不外乎是提前被我们删除掉了而已。而对于上面给的这个题而言，虽然它已经填上数字，而它由于是填入数的关系，它自始至终都不是题目最开始就拥有的数字，因此这几个单元格你仍旧可以当成空格，只是说空格是唯一余数，比如说我们可以将 r7c5 = 9 看作是 r7c5 仅有 9 这一个候选数，这个意思。

当有了这层铺垫后，我们就可以填回原本去掉的候选数了。例如，r7c5(4) 在题目最开始的时候也是存在的，我们仍旧可以补回去；而 r8c5 和 r8c9 同理。当补回候选数后，这个结构就恢复回了一个标准版的唯一矩形。

因为要规避矛盾，所以 r7c9 <> 4 此时就成立。因此，就算是填入数的状态下，这个结论仍旧成立。

我们把这种使用填入数而非空格的唯一矩形推理思路称为可规避矩形（Avoidable Rectangle，简称 AR）。它和唯一矩形同源，但因为长相比较特殊所以有它自己单独的技巧名称。

由于它恢复候选数后可转换回唯一矩形的类型 1，因此我们把这个结构称为可规避矩形的类型 1。

下面我们来看看可规避矩形的其他类型。

类型 2

如图所示。这次我们使用的是单元格 r15c23，其中有两个单元格已经有填数。

显然，r1c23(7) 不能同时从盘面里消失，否则它俩会变为唯一余数，然后形成矛盾，因此这两个橘色的 7 将会形成区块结构，于是，所在宫和所在行的其他单元格都不能填入第二次 7 了，所以这个题的结论就是 {r1c89, r2c23} <> 7。

我们把这个结构称为类型 2。因为它在补回候选数后类似于唯一矩形的类型 2（区块类型）。

类型 3

如图所示。如果我们让 r89c9 里所有三个橘色的候选数全部从盘面里消失的话，r89c59 将会形成矛盾。而由于所在宫里有一个单元格 r8c8 只有橘色的 1 和 4 这两种候选数，因此在 r89c9 里必须要拿出一个单元格与之配对形成显性数对，于是乎我们就知道，这个宫里其余的单元格就没有机会填入 1 或 4 了。因此这个题的结论就是 r7c9 <> 4。

我们把这个用法称为类型 3。我们再来看一个例子。

如图所示。这个题就自己推理了吧。

类型 5

接下来我们直接跳过类型 4，来看类型 5。原因我一会儿再说。

如图所示。这个长相怪异的结构是类型 5。

如果我们让 r3c7 和 r5c9 里的候选数 3 同时从盘面里消失，那么就会直接得到 r3c7 和 r5c9 填 9 的结论，于是，r5c7 就只能填 7，于是四个单元格 r35c79 就会形成矛盾。

所以，r3c7 和 r5c9 里的候选数 3 至少有一个是正确的填数。那么使用类似 XY-Wing 的删数逻辑，我们可以得到 r1c9 和 r6c7 是可以同时影响到这两个 3 的位置，于是这个题的结论就是 {r1c9, r6c7} <> 3 了。

隐性可规避矩形（Hidden Avoidable Rectangle）

和前面一样，我们跳过类型 6，直接来看可规避矩形版本的隐性唯一矩形。

如图所示。我们可以看到，图中 r2 和 c4 都存在 4 的共轭对。所以，和隐性唯一矩形一样，我们按摆放分两种情况进行讨论。

如果 r2c4 = 4，则因为 r2c4 占位可以得到 r2c4 <> 8；
如果 r2c1 和 r3c4 同时填 4，则为了规避出现矛盾，r2c4 <> 8 也是成立的。

所以，我们有 r2c4 <> 8 的结论。我们把这个用法称为隐性可规避矩形（Hidden Avoidable Rectangle，简称 HAR）。

为什么不讲类型 4、6？

下面我们把话题回到前面漏掉的类型 4、6。为什么跳过了他们？

原因其实很简单：因为不存在。可规避矩形的世界里并不存在类型 4 和类型 6。你可以试着把类型 4、6 的共轭对标注出来，然后试着看看它的可规避矩形版本，填入数都可以放在哪里。

对于类型 4 而言，因为其中有两个单元格需要使用共轭对，所以它俩是不能有填入数的存在的。所以填入数只能放在剩下的两个单元格里。但是，一旦放进去之后，另外一边因为数对的关系很容易确定下来。假设这两个填数是 $a$ 和 $b$ ，那么根据类型 4，共轭对用到的数字也必须是 $a$ 或 $b$ 的其中一个。但是因为填数已经填有 $a$ 和 $b$ ，所以我们无论如何都构造不出这个共轭对（共轭对的单元格一定和这两个填数的位置是同行列的）。所以，类型 4 在可规避矩形的世界里并不存在。