# 待定唯一矩形链（AUR 链）今天我们继续来学习链理论。前面我们学到了纳入区块和数组作为链推导的一部分的做法，这次我们继续将唯一矩形纳入，看看它还能诞生什么新的推理过程。 ## 待定唯一矩形里的强链关系

如图所示。这个链的表示如下： ``` 8r2c3=3r2c23-3r2c4=6r9c4-6r9c9=8r59c9 ``` 我们先看最开始这个强链关系。`8r2c3=3r2c23` 是怎么来的呢？我们可以从图上看到，这是一个用到数字 5 和 9 的唯一矩形，不过 `r2c2` 缺了一个数 9，这并不要紧，因为唯一矩形缺数字是不影响推理的，这一点之前已经说过了。当 `r2c3(8)` 为假时，唯一矩形必须要求 `r2c23(3)` 至少有一个 3 为真，否则四个单元格仅剩下 5 和 9 引发唯一矩形的矛盾。所以，这个强链是有道理的；当然，你也可以使用第二定义去理解，即证明节点 `r2c3(8)` 和 `r2c23(3)` 不同假。总之我们得到了 `r2c23(3)` 里必须有一个 3 为真，即 3 在这两个单元格将会形成区块节点，其区块节点为真。于是，`r2c4(3)` 就为假了，因为这个候选数位于区块节点可排除 3 的范围内。后面就和之前待定数组的推理过程一样了，这里就不展开重复说明了。我们可以看到，这个题里用到了 3 和 8 形成强链关系的用法，而证明这个用法的方式是通过唯一矩形来得到。我们把借用唯一矩形推理的链称为**待定唯一矩形链**（Almost Unique Rectangle Chain，简称 AUR Chain），而把这个题里用到的唯一矩形 `r29c23(59)` 称为**待定唯一矩形**（Almost Unique Rectangle，简称 AUR）。和待定数组一样，待定唯一矩形也是无法单独拿出去推理的，它必须参与到链里作为推理的一部分才可以发挥作用。下面我们再来看一个例子。

如图所示。这个题就自己看了。不过要注意的是，因为待定唯一矩形的特殊性，强链关系不一定非得发生在同一个区域里。比如这个题它就可以连接两个完全行列宫不相关的地方。 ## 还是强链关系，但是线连到外面去了

如图所示。这个的表示如下： ``` 3r5c1=3r7c1-3r78c2=5r5c6 ``` 可以看到这个例子非常的“异类”。尤其是 `3r78c2=5r5c6` 这个强链关系，突出一个离奇。实际上这个地方我们要借助一下唯一矩形里共轭对的概念。因为不太方便用第一定义去理解，这里我们还要用第二定义“不同假”来理解这个，会稍微方便一些。如果我们同时让 `r78c2(3)` 和 `r5c6(5)` 同假，则 `r78c2` 只剩下了 5 和 7（区块节点为假则数字全部消失，这我不用过多重复说明了吧）。那 `r78c6` 呢？此时因为外侧的这个 5 不存在了之后，观察 `c6`，我们可以发现数字 7 原本就是共轭对，而数字 5 因为我们把外部 `r5c6(5)` 设为假了，所以它也没了，此时 5 也变为了共轭对。两个数都是共轭对意味着什么？隐性数对嘛。这两个数都是共轭对，还都在同样的两个格子里，这不就意味着一个是 5 而另一个一定是 7 么。所以，我们就得到了 5 和 7 只能填进去的效果。结合前面我们假设了 `r78c2(3)` 为假的内容，我们就可以得到，`r78c26` 将只会剩下 5 和 7，导致唯一矩形的矛盾。因此，这两个节点不能同假，故形成了强链关系。有了这一点后，这个链就连起来了。这便是强链关系的第二种情况，一边是连在矩形结构的内部（用到矩形四个格子的其中一些格子），一边则是连在矩形外部的。下面我们再来看两个例子。这个例子也希望你自己看。

这个例子的链尾非常神奇，它是一个看起来只会出现在待定数组里的、四个候选数在平时做题压根就不会考虑成为节点的节点，但被我们直接拿出来用了。

再来看一个这个例子。这个例子用了两个待定唯一矩形。这两个待定唯一矩形带来的强链关系均来自于前面这两种情况。可以拿来学习学习。 ## 依旧是强链关系，但是线完全在外面我们再来看一个奇葩的例子。

如图所示。这个链的写法如下： ``` 4r78c9=9r8c9-9r1c9=4r1c79|r2c8 ``` 这个例子是目前我们链理论里接触过的最离谱的例子。当然，讲完你就明白了，它只是看着离谱。头部这个强链关系是两个 4 和 9 的强链关系。这看起来非常像是一个待定数组形成的强链关系，但仔细观察可以发现它其实并不是：这两个单元格除了 4 和 9 外还包含了 5 和 8 两个无关的候选数。如果按照纯正的待定数组来看的话，这里最多就只应该有一个多出来的候选数，但这里有两个无关的候选数。或者说，我们要让待定数组形成，我们大不了就去这个列或者宫里找到额外的一个或一组单元格，使得待定数组成立。可怎么找都找不到。所以，使用待定数组的思路是行不通的。那这是怎么形成的呢？实际上这是待定唯一矩形得来的强链关系。前面我们提到，待定唯一矩形可以让其中一端脱离唯一矩形结构的四个单元格，把节点画在结构的外面去。这个例子则更离谱一些，两头都画在了外面。原理是这样的。首先，`r12c5` 是一个关于 4 和 9 的显性数对，而要使得 `r12c9` 也只能含 4 和 9，就必须把 `c9` 里其余的 4 和 9 全给干掉。可以发现，除了这两个单元格有 4 和 9 外，就只剩下 `r78c9` 这两个单元格了。假设 `r78c9(4)` 和 `r8c9(9)` 同假，则 4 和 9 在 `c9` 将只能填入到 `r12c9` 里，于是构成了之前说到的 4 和 9 同时都是共轭对在同样单元格的情况。同样的单元格又是共轭对就意味着这两个单元格是隐性数对。而结合前面说的 `r12c5`，四个单元格就会直接形成唯一矩形的矛盾形式。因此，头部的强链关系就这么得到了。后面的强链关系则是待定数组得到的，这里就不赘述了。我们再来看一个例子，也挺抽象的。

如图所示。这个就自己看了。表达如下： ``` 8r9c8=9r5c8-9r4c8=8r79c8 ``` 看着就挺抽象的。 ## 待定唯一矩形里的弱链关系待定唯一矩形是否可以构造弱链关系呢？实际上也是可以的，只是不太常见。下面我们就来看一个例子。

如图所示。这个例子的表示如下： ``` 3r9c1=3r7c3-3r7c78=(3-4)r89c7=4r3c7-4r3c9=5r1c9-(5=36)r2c78 ``` 可以看到，这个题用到的东西还挺多的，一个待定数组，一个毛刺数组，一个待定唯一矩形，以及若干区块节点。虽然绕来绕去只能删一个数，但是它利用到的一个待定唯一矩形的弱链关系就是这里的 `(3-4)r89c7` 了。因为左侧 `r89c5` 两个单元格仅有 3 和 4，所以一定是显性数对；而对于右边这两个区块节点，如果这两个区块节点同为真，则意味着两个单元格必须一个是 3 一个是 4，则一定矛盾。虽然这个思路非常新颖，但是奈何它用到的是弱链关系，因此出现频率非常低，平时做题之中也很难遇到它。对于这个题来说，它也能用更短且不用待定唯一矩形结构就可以绕过这个删数。总之就是在做题的时候很难遇到。我们再来看一个例子。

如图所示。这个例子稍微看着有点别扭。它的写法如下： ``` 9r78c6=9r23c6-7r3c6=9r1c45|r2c4|r3c56 ``` 中间的 `9r23c6-7r3c5` 用的是这个待定唯一矩形的弱链关系，最后这个强链关系产生自待定数组。因为头尾分别是 `r23c6(9)` 和 `{r1c45, r2c4, r3c56}(9)`，所以交集的删数是 `r2c6 <> 9`。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://sudoku.kazusa.tech/chain-theory/07-almost-unique-rectangle-chain.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.