复杂鱼的自噬

我们早在之前很多技巧里就遇到过自噬的现象。而我们总是会告诉大家这个现象的来历其实是来自于鱼结构。下面我们来看鱼里的自噬是怎么样的。

鱼的自噬现象

如图所示。这是一个四阶宫内鱼，有 6 个删数，强区域是 8r2468，弱区域是 8c159 和 8b5。

这个结构非常巧合的是它非常对称，强弱区域数是一样的，但这题存在弱三元组 r46c5(8)。我们必须单独讨论他们。

如果 r46c5(8) 至少有一处占位，则弱区域数会少两个，强区域数只会少一个；剩余结构其余位置均为精确覆盖，所以秩变为 -1，导致矛盾。所以 r46c5(8) 占位直接造成矛盾，可以删除他们。

那么，删除了之后，结构的剩余部分均为精确覆盖，而结构的秩为 0，所以所有弱区域均可用于删数。

在复杂鱼里，我们就把这种弱三元组讨论后发现占位必造成矛盾的情况称为鱼的自噬（Cannibalism）。

例子 1：三阶交叉鱼

如图所示。这是一个三阶交叉鱼。强区域是 7b2、7r9 和 7c2，弱区域是 7b7、7r3 和 7c5。

很显然，这个题里非精确覆盖的只有 r3c5(7)。讨论它的占位状态可以发现，如果它占位，则强区域数量少一个，弱区域数量少两个，剩下的结构弱区域数会比强区域数少，而剩余部分为精确覆盖，所以秩变为 -1，造成矛盾。所以占位是不合法的。

而剩余的删数是因为，我们可以得到 r3c5(7) 是不能占位的，所以要删除。删除之后结构变为精确覆盖，所以秩为 0，直接弱区域删数就可以删除他们。

例子 2：四阶宫内鱼

如图所示。这也是一个四阶宫内鱼，不过和之前那个例子不一样的是，这个更普通一些，因为它只有一处自噬删数 r2c8(8)。

讨论方式和之前的一样，所以就不多说了。

例子 3：五阶宫内鱼（Franken Squirmbag）

如图所示。这是一个五阶宫内鱼（Franken Squirmbag）。这个题巧妙在它不需要依赖任何的鱼鳍，是一个非常标准的五阶鱼。

这题也有弱三元组，不过和前文一样的地方是，这个题只有弱三元组而不存在强三元组，所以它讨论起来会轻松不少。

首先我们要知道一点的是，整个结构除了精确覆盖的地方就只有弱三元组这一种特殊情况。这一点很重要，因为弱三元组占位总是会让弱区域数变得更少，但强区域数虽然也会变少，但少得没弱区域数少得快。这句话有点绕，你可以理解为计算秩里，被减数少得更多，但减数少得没那么多，这使得原先计算出来的秩的结果会变小。这很关键，因为上面这个例子在这一点上和秩的计算是一样的。

知道这一点之后就轻松多了：因为这个题只有可能填 5 个 9 进去，因为强区域已经锁定了填充 9 的次数必须是 5 个，这是强区域的特征。而显然，一旦任意一个弱三元组有占位，则实际填充 9 的次数就会少两个，但强区域只会因为占位而少一个。所以，弱区域按“最多填几次”的理解来看的话，它肯定会比强区域“实际必须填几次”要更小，这显然是矛盾的。而结构又不存在任何其他特殊的覆盖模式（其他位置都是精确覆盖的），所以显然弱三元组都不能占位。

所以，弱三元组均可删数。删完之后，结构退化为精确覆盖，于是秩的公式可以代入。求得结果为 0，所以所有弱区域均可用于删数。

例子 4：五阶交叉鳍鱼

如图所示。这个题也是五阶的，但是它有一个内鱼鳍，位于 r5c8(7)，而且还有一个自噬删数 r6c8(7)。

这个结构就比较复杂了，从秩理论的角度来说，它同时拥有强三元组和弱三元组。倒是其他地方都是精确覆盖，所以不用怎么关心。

这个题我们要先讨论弱三元组的占位情况。强弱区域数都是 5 个，所以还算比较好。如果 r6c8(7) 弱三元组占位，则强区域数少 1 个（即 7b6），但弱区域数会少 2 个（7c8 和 7r6）。同时，因为弱三元组和强三元组 r5c8(7) 同一列，所以同一列不能填相同的数字，故 r5c8 此时也不能填 7，强三元组也就无法此时同步占位，故剩余所有候选数均为精确覆盖。此时，强弱区域数不平衡——弱区域数是 3 个，强区域数是 4 个，故秩为 -1，矛盾。所以，r6c8(7) 占位一定是矛盾的。

确定弱三元组一定无法占位后，剩下就只有一个强三元组了，也就是鱼里我们称为的那个内鱼鳍 r5c8(7)。因为它是此时唯一一个影响结构填充次数的位置，所以我们也按鱼鳍的模式进行真假性讨论。显然，r12c8(7) 是可以删数的——这是内鱼鳍造成的删数：内鱼鳍为真，则直接列排除删；如果内鱼鳍为假，则剩余结构为精确覆盖，秩为 0，故所有弱区域均可删数。

所以，这个题能确定的删数有 3 个。不过这题还有一个删数是 r6c2(7)。它要删数也是和前文一样，也需要后面的内容才能得到，所以先不剧透其推理过程。