> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://sudoku.kazusa.tech/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://sudoku.kazusa.tech/construction/05-blossoming.md). # 绽放今天我们要介绍一个全新的概念。这个概念其实早在之前就有所提及，但因为当初的难度较高，因此并未详细展开进行说明。让我们先从一个非常基础的、有技巧名称的数独技巧切入，看看这是怎么一回事。 ## 死亡绽放（Death Blossom）在前面我们学到过待定数组的链，我们也学过强制链。下面我们来看一下待定数组结合强制链的运用。

如图所示。我们按单元格 `r7c4` 讨论三种情况。 * 如果 `r7c4 = 3`，则待定数组 `r3c4` 这个单元格只能填 2； * 如果 `r7c4 = 4`，则待定数组 `r239c5` 三个单元格里只剩下 2、6、7，形成三数组； * 如果 `r7c4 = 5`，则待定数组 `r2c45, r3c5` 三个单元格只剩下 2、6、7，形成三数组。因为三种情况要么填 2，要么形成数组里含 2，所以所有 2 都可以用于删数。对于这个题来说，删数是 `r1c5 <> 2`。我们把这个技巧称为**死亡绽放**（Death Blossom），即使用单元格进行强制链讨论；然后每一个分支都映射了一个待定数组，每一个待定数组全部都可以删除同一个候选数或若干候选数的情况。这个名字听起来怪吓人的，听起来并不适合作为本内容的切入。但是它因为需要带有分支的现象和特征，使得今天我们要讲解的内容挂钩了。 ## 绽放环旧技新说 ### 先来看例子我们来看一个怪东西。

如图所示，这是之前 [动态环的删数分析](/chain-theory/11-dynamic-chain/03-elimination-analysis-on-dynamic-loop.md#blossom-loop) 里提供的一个例子。这个例子当时是要读者自己去理解，下面我们就用新视角来看这个例子。

如图所示。这是一个毛刺连续环，毛刺是 `r5c3(4)`。当毛刺为假的时候，我们可以得到图中的这些位置作为删数。很显然，他们都删不了，因为这些删数仅仅是当毛刺为假时才可以产生的删数。很明显，要证明删数可得，必须要走毛刺为真的情况。于是我们就去找毛刺为真的可用路径。

如图所示。当我们假设 `r5c3(4)` 为真时，可以顺利得到 `r6c1(5)` 为真的结论。请注意，这个数之前是我们在毛刺连续环成立时所得的其中一个可用删数，它是毛刺假的删数，现在被我们得到它在毛刺为真的状态下为真了。当我们在毛刺为真时推出连续环所产生的其中任意一个删数为真时，我们就把这个现象称为**绽放**（Blossoming）。当绽放现象出现时，有如下两部分可参与删数的地方： 1. **除了当毛刺为假时得到的连续环成立所产生的删数里，毛刺真推得为真的那个数不能删**（即图中的紫色配色的这个候选数，即 `r6c1(5)`）**以外，其他数字**（`r6c1(8)` 和 `r4c8(6)`）**均可删数**； 2. **毛刺为真时的所有弱链均可按环内弱链规则进行删数**（强行将前面的这个毛刺真的分支视为环里的强弱链关系，于是找出所有弱链对应其删数即可，即 `r7c4(18)`、`r8c3(4)` 和 `r9c2(5)` 可删，其中 `r7c4(18)` 是待定数组产生的额外删数）。所以，这个图里所有删数正如最开始那个图里展示的那样。 ### 为什么这么神奇？本身毛刺连续环就已经比较难了，而这个删数规则看起来更加让人摸不着头脑。这也太难理解了！我们来说一说为什么这个删数可以成立。毛刺的本质是讨论其真假性，找出和原始结构里都可用于删数的部分，作为实际这个技巧所产生的删数。不过，毛刺还有一个性质是，毛刺和结构的成立状态（或者说成是链里的真假性）也是不同假的。也就是说，毛刺为假时，连续环必然成立；而当连续环成立时，因为强链会经过毛刺所在的区域，因此毛刺也根本不会存在（强链关系所在的区域只能有两处可为真的节点，他们俩必有一个满足，而毛刺的位置已经属于是“第三者插足”了）。毛刺的分支最终回到了环的某个删数上，而删数自身应当和环是不同真的状态（环成立的话，删数就只能被砍掉；反之，如果删数的候选数一旦为真，则环也因为弱链的两端被删数填充所破坏，所以环也不会成立），所以我们就可以把这两个说法串起来看：因为强弱链关系是可以逆向理解的，所以我们把强制链的这个分支倒过来看，即从删数位置 `r6c1(5)` 设为假，并回到毛刺 `r5c3(4)` 为假。注意这个思路，因为这个强制链分支是“毛刺真 ⇒ 删数真”的，所以倒过来看的时候应该取它的逆否命题，即“删数假 ⇒ 毛刺假”。倒过来有什么意义吗？有的。倒过来之后，借用前面说的这两点，整个环的思路就串起来了： * `r6c1(5)` 为假 ⇒ 毛刺为假 ⇒ 连续环成立 ⇒ 连续环删数 ⇒ `r6c1(5)` 为假或者简化为链的表述： * `r6c1(5)` 为假 ⇒ 毛刺为假 ⇒ 连续环节点为真 ⇒ `r6c1(5)` 为假这样就让结构周而复始地无限循环运作起来了。只是说，这里稍微不太像是链的地方在于，链需要强弱关系交替发生，换言之，节点的真假性就得交替出现。但这个例子里，`r6c1(5)` 为假时，推到毛刺的位置也是为假的，这看起来似乎违背了链的交替规则，但是实际没有。因为这个强制链分支内的每一个节点仍然是真假交替的，我们只是忽略了过程，只看到了头尾两端的结果而已。那么，删数呢？为什么连毛刺作为强制链分支上的情况也可以用来删数？很显然是因为这个环的链路运作起来了，环上本身就具备所有弱链关系上可以对应的位置可以用作删数才有了这些地方。不过这里要注意一个比较容易忽略的地方：环上任意相邻两个节点的真假性一定是互斥的（一真一假）。因为这个规则，我们还可以用于找一些特殊删数。比如这个例子里，环节点自身和毛刺是强链关系，而环和毛刺一定是一真一假的，所以环自身可以用于删数。 > 我知道这里不好理解，所以我打算补充说一下这个内容。 > > 根据之前结构节点的真假性讨论，环为真时可以删环里弱链的位置；而环为假时，毛刺为真。但是，毛刺也仅会影响毛刺所在的行列宫的地方，环的不成立的“源泉”只是因为毛刺这个位置为真，影响了所在的节点的填数状态，破坏了环的链路规则，但是其余的弱链关系并未遭到破坏（仍旧是客观成立的），所以仍然可以用于删数。故环里其他地方的删数可以得到保留。 > > 所以，本质上我们还是只是在使用环的特性在找删数而已，并未用到什么高级或者超纲的知识点，只是因为环节点纳入链的思路过于新颖，所以导致它不太好懂。 ## 例子 2 我们再来看一个例子。

如图所示。这是毛刺为假时的连续环。

如图所示。这是毛刺为真时的强制链路径，它会回到连续环的其中一个删数 `r3c4(8)` 上。所以这个题的删数除了 `r3c4(8)` 不能删以外，都能删除；分支上也可以用于删数（不过这个题没有，因为 `r3c9` 只有两个候选数）。 ## 例子 3 这个例子我把毛刺真假的两个图合并一下，不过删数先不标，请各位自己理解一下，然后找出所有的删数。

如图所示。看得出删数在哪里吗？是这些：

## 例子 4 这个例子稍显复杂，不过也还是希望你自己看。

如图所示。这是毛刺为假时产生的连续环。

如图所示。本题有两个毛刺，我们需要分别讨论，于是分别走到了两处不同的删数位置上。虽然这稍微有所变化（分支数量变多了一个），但之前的结论仍旧是有效的。因为这好比是把之前的一条链路上的逻辑改成了两个并行的分支，最终又同时汇合到一起。 ## 总结可以看出，绽放环从本节内容里看得出来，虽然它还是动态环，但这次我们并未把这个技巧视为动态环的思路，而是用了毛刺连续环的视角将动态拆成了两个视角，避免了动态的介入，这样玩家也可以轻松了解删数的由来和推理过程，避免之前的非常臃肿的描述和证明删数可用性的原因解释。所以，以后我们将绽放环视为毛刺连续环的场景会更多一些。 ## 毛刺连续环的删数之间互相不同为真在讲完了前面的四个例子之后，我们来说一个推论。

如图所示。这是刚才的例子 2。我想要说的这个推论是，**毛刺连续环里的所有可用删数之间是不同真的**。比如这个题里，如果 `r9c1(2)` 为真时，其他的删数（`r6c9(9)`、`r7c7(3)` 和 `r8c8(3)` 这三个）就都不能为真；同理，比如 `r7c7(3)` 为真的时，其他三个也都不能为真。 > 当然，我们当然知道这个题是有绽放环的，因此删数肯定是都给干掉了。但是，毛刺连续环和绽放环也并非是同一个东西。绽放环只是拿了毛刺连续环作为一个切入视角，而毛刺连续环也不全都非得是绽放环的逻辑（比如之前只能删一两个数那种就肯定不是绽放）。我这里想说的是，当一旦有一个毛刺连续环出现时，如果我们强行将连续环视为成立的话，会引发图中的一些删数出现。而这些删数之间互相是不可以同为真的。这是为什么呢？你随便假设一个进去就知道了。比如假设 `r9c1(2)` 为真，我们会破坏掉图中连续环的弱链关系 `2r9c4-2r9c7`，但是连续环里的其他强弱链关系完好无损。那么我们顺着去假设，我们必然会得到删数成立的情况。比如这个例子里 `r9c7(2)` 会为假，但 `r9c7(3)` 为真，于是 `r7c7(3)` 和 `r8c8(3)` 直接为假；继续沿着推理，我们还能得到 `r6c9(3)` 为真，所以 `r6c9(9)` 这个删数也为假。也就是说，不论你从哪一个删数出发，假设其为真，虽然你会破坏掉临近的这个连续环的弱链关系，但是你换来的是其他删数必然为假的情况。这个推论看起来好像没啥用。没事，请先记住它。这是一个伏笔。之后的思路会基于这个推论带来全新的思维。哦对，这是个毛刺连续环，并非是真正的连续环。所以毛刺连续环强行成立所造成的删数并非是真实的删数。但是，为了方便描述，我们称呼这种删数为**预备删数**（Pre-elimination）。后续会使用这个说法。