内鱼鳍的基本推理

今天我们来看带有内鱼鳍的复杂鱼结构。

宫内鳍鱼

三阶宫内鳍鱼

如图所示。这个题目的强区域是 3r69 和 3b7，弱区域是 3c235。都是 3 个。不过要注意的是，这个地方有一个强三元组，位于 r9c3。

显然，按照最基础的推理过程，我们必须讨论它的真假性才能得到结果。

• 如果 r9c3 = 3，则列排除可以直接删除 r3c3(3)；

• 如果 r9c3 <> 3，则本结构不存在任何的三元组，故退回普通的 3 个强区域和 3 个弱区域的鱼结构，秩为 0，故所有弱区域均可用于删数。

结合两种情况我们可以得到，r3c3 <> 3 是这个题目的结论。

似乎说起来也并不是非常费劲，因为前期的内容我们已经简要接触过强三元组的推理过程。我们把图中 r9c3(3) 称为这个结构的内鱼鳍（Endofin）。为什么叫内鱼鳍呢？这得分两部分解释。

第一部分，为什么有个“内”字？因为我们不难发现，这个影响我们推理、需要讨论真假性的候选数长在了鱼的身上。之前我们学到过的鱼鳍，都是附着在鱼结构的边上。虽然他们都在强区域里，但很明显的不同点在于，之前学到的鱼鳍都只会被一个强区域所覆盖；而这个例子不同的地方在于，它同时被两个强区域所覆盖。显然，当我们讨论真假性的时候，它的占位状态就会和之前的鱼鳍有所不同。正是因为它长在了鱼的身体里，所以我们把它称为结构内的鱼鳍。

第二部分，为什么这也叫鱼鳍？因为它的真假性仍然影响了我们推理。我们在得到删数结论之前，也是需要依赖它的真假性讨论的，这一点和鱼鳍完全一样。所以我们把他称为鱼鳍。

结合两点，我们将这种特殊现象称为鱼的内鱼鳍。

四阶宫内退化鱼

如图所示。这个题的强区域是 4r169 和 4b3，弱区域是 4c1289。

这题和刚才的例子也差不多，r1c9 是这个题的内鱼鳍。讨论真假性可以得到，要么 r1c9(4) 为真，则删除 c9 里其余位置的 4；如果为假则没有任何位置是三元组，变为精确覆盖，于是结构秩为 0，所有弱区域都可以删数。所以，联立起来就可以得到结论是 r4578c9 <> 4。

我们再来看一个例子。

如图所示。这个题就自己理解了。

交叉鳍鱼

下面我们来看内鱼鳍长在交叉鱼上的情况。

三阶交叉鳍鱼

如图所示。这个题的强区域是 3r15 和 3c1，弱区域是 3b14 和 3c5。

显然，这题也有一个强三元组，位于 r1c1。讨论它的真假性。如果 r1c1 = 3，则宫内的 r3c23 <> 3；如果 r1c1 <> 3，则所有候选数精确覆盖，于是结构秩为 0，所有弱区域均可用于删数。

结合起来，可以得到 r3c23 <> 3 是这个题的结论。

四阶交叉退化鱼

如图所示。这是一个四阶交叉鳍鱼。为什么它是交叉鳍鱼呢？强区域不是有两个宫吗？这是因为它的弱区域里同时含有了行和列两种元素。我们之前提到过，如果强区域或弱区域只要有一侧同时含有行和列两种元素，我们就称为交叉鳍鱼。实际上，这是三行一列的弱区域，将结构转置后就会变为三行一列的强区域，这符合交叉鱼的归类。

可以看到，本题的内鱼鳍是 r7c8(5)。按照前文的讨论，真假性可以得到这个题的结论是 r16c8 <> 5。过程就不多说了，因为说过两回了。

混合鱼鳍

前文我们介绍了外鱼鳍和内鱼鳍的基本推理过程。而对于复杂鱼来说，两种鱼鳍是可以混合出现的。下面我们就来看一些这样的例子。

五阶宫内退化鱼

如图所示。这个题的两个鱼鳍一个位于 r1c5(7)，一个位于 r9c1(7)。

看得出来哪个是外鱼鳍，哪个是内鱼鳍吗？是的，r1c5 是外鱼鳍，r9c1 是内鱼鳍。r1c5 长在了单独的一行上，只需要 7c5 这个弱区域就可以覆盖，所以它只会被一个强区域和一个弱区域覆盖；而 r9c1 就不行了。它是强三元组；而且，r2c5 这里虽然也是鱼身体的一部分，但它在结构里是同时被 7r2 和 7c5 两个弱区域覆盖的，所以单看结构整体还不算是精确覆盖。这一点和之前介绍外鱼鳍的那个四阶情况类似；而且，它是鱼鳍单拎出来才会造成的 7c5 这个弱区域，而并非鱼自身产生的弱区域，因此鱼的弱区域实际只有 5 个，全都是行。所以这是一个宫内鱼，而非交叉鱼。

按照推理过程，因为鱼鳍的本质是不变的（假设真假性），所以我们直接讨论其真假性就行。因为是两个鱼鳍，所以混合在一起讨论就行。

• 如果两个鱼鳍均为假，则所有候选数均为精确覆盖，于是秩为 0，所有弱区域均可用于删数；

• 如果两个鱼鳍任意一个为真，r9c5 <> 7 均成立。

所以，结论是 r9c5 <> 7。同样地，本题的 r6c5 <> 7 也可以删除，但是它也不能直接这么删，因为内鱼鳍 r9c1(7) 无法删到它那里，所以它需要单独讨论，这里就不作解释了。等到了后面再说。

五阶交叉退化鱼

如图所示。这个题有些复杂。这题也有两个鱼鳍，一个是 r9c1(9)，是外鱼鳍；一个是 r7c7(9)，是内鱼鳍。另外，强区域是 9r347 和 9c17 一共 5 个，弱区域是 9r2、9c258 和 9b6 也有 5 个。

很显然，当我们把鱼鳍设为假之后，除了 r4c8(9) 外，所有候选数均为精确覆盖。r4c8(9) 比较特殊，它位于两个弱区域上，是弱三元组。因为这个结构的在拿掉了鱼鳍后，鱼的强区域和弱区域数量一样；但是，r4c8(9) 的占位状态可能会影响结论形成，所以我们作为子情况继续讨论。

• 当 r4c8 占位时，删数直接成立；

• 当 r4c8 不占位时，所有候选数变为精确覆盖，但不占位时不影响强弱区域数量的变化，所以秩是 0，所有弱区域可以用于删数，删数 r9c8(9) 也在其中。

所以就算列出子情况讨论起来，鱼鳍为假之后其实跟不讨论它没啥差别（结论仍然没有受影响），所以 r9c8 <> 9 可以删除。

而如果鱼鳍设为真，随便哪一个都可以删除 r9c8(9)，因为他们都看得见这个候选数。

所以，这个题的结论就是 r9c8 <> 9。

好了。内鱼鳍的内容我们也结束了。