飞鱼和多米诺环

Exocet with Domino Loop

之前我们学到了飞鱼和多米诺环两种都比较难、结构都比较大的技巧。实际上这两种技巧是可以在同一个题里共存的。和飞鱼 + 飞鱼构成双飞鱼，形成额外删数的效果类似，这两个技巧放在一起也可以形成额外的结论。

多米诺环的直观

在学习多米诺环的时候，细心的朋友可能已经发现，多米诺环虽然用的格子很多，但因为它毕竟落在四个不同的宫里，所以宫里的提示数的摆放非常的有意思。

如图所示。这是一个多米诺环的例子。删数无关紧要，这里我们来看它分布的四个不同的宫有什么特殊性质。

可以看到，b1 里的提示数是 1、2、5，b3 提示数是 3、4、6，b7 的提示数是 3、4、8，而 b9 里则是 1、2、7。我们提取出相同的部分：

b1 和 b9 里都有 1 和 2；
b3 和 b7 里都有 3 和 4。

这样便构成了多米诺环的几点特征：

四个宫里分布为对角线上两个宫（如这里的 b19 和 b37）里，每个数都恰好出现两次；
同一个宫里必然有 3 个提示数，且一定互相不同行列；
除开这里说的 1、2、3、4，每个宫余下都只有一个提示数，而且这个提示数一定是在多米诺环所形成的 4 个“空矩形”范畴的交叉点上（图中的 r28c28 四个单元格）。

这便是多米诺环的直观视角。不过要注意的是，“b19 和 b37 恰好分别都只有 1 和 2 或 3 和 4”这个特征确实很特殊，但这并不一定是所有多米诺环的特征，因为下面的题可能会安排四个宫里四种数字摆放是“循环态”的，即 $\{a, b\}, \{b, c\}, \{c, d\}, \{d, a\}$ 这么个情况。多米诺环仅要求四个数字 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 和 $d$ 都出现在四个宫里，且恰好都有两个就行。

我们不妨再来看一个题。

如图所示。左右两个图里都是同一个题派生出来的两个多米诺环结构，删数有所不同，但他们的“架子”完全一样，即分布于 b1346 四个宫里的这 12 个提示数，满足前文描述的那几点特征。

请尤其记住这几点。这几点是一个伏笔，本篇内容的后续内容，甚至于下一篇的内容都可能用到它。

模式四数组（Pattern-Locked Quadruple）

我们来看这个题目。

如图所示。这个题目的数字摆放看起来就很奇怪。而正是因为这种看起来说不上来的奇怪，才带来了这个题的有趣的点。这个题同时有初级飞鱼和多米诺环两个技巧，他们是共存在这个题里的。

如图所示，左图是这个题里的多米诺环的位置，右图则是初级飞鱼的位置。

看起来，似乎飞鱼也可以删多米诺环的其中一部分删数，但用的结构的推理过程似乎完全不同。这似乎有点巧合？先不管那么多，我们来看看这个题有什么结论会发生。

因为多米诺环删数更多，我们从多米诺环的删数切入来看看。将图中删数移除后，我们会发现 r5 显然有一个显性四数组位于 r5c2468。这还算比较容易发现。但是，初级飞鱼的知识点告诉我们，r4c2 和 r6c8 填的数和中间 r5c46 基准单元格里填入的数字一样，所以我们可以巧妙地得到下图这样的情况：

如图所示。我们可以得到，r4c2、r5c28 和 r6c8 四个单元格可以构成跨区四数组。

和之前一样，因为我的软件无法按一组单元格标注代数字母，所以图中的 r4c2 是 $a$ 并不是说它和 r5c4 一定填一样的数（同理，r6c8 也是）。这里只是想表示一个概念，告诉你 r4c2 和 r6c8 这一对单元格总体是 $a$ 和 $b$ ，它俩和 r5c46 这一对单元格是一样的填数，但内部是怎么填的我们并不清楚。

我们把图中 r4c2、r5c28 和 r6c8 这四个单元格构成的跨区四数组称为模式四数组（Pattern-Locked Quadruple，简称 PLQ）。很显然，它是一个客观存在的四数组，只要同时有多米诺环和初级飞鱼就行。

我们再来看一个例子。

如图所示。这个题也有一个模式四数组，而且摆放和前面那个题都完全一样。这是故意的，方便初学理解。

相信到这里你还是能看懂的。

模式四数组的潜在删数

我们拿第二个例子来说说它的神奇之处。

潜在删数 1：利用飞鱼基准单元格同步

如图所示。这四个候选数是模式四数组可以形成的潜在删数。这看起来是不是一头雾水？实际上，其中两个删数 r4c2 <> 7 和 r6c8 <> 2 是可以在得到模式四数组和 r5 上的四数组之后，直接通过飞鱼删除的，它要借助一下之前学到的飞鱼的锁定成员来得到。不记得了？那请回到锁定成员的内容里学习一下吧！

不过，就算是这样，其实也只能删两个数。实际上模式四数组是可以删这四个候选数的。那么余下的俩是怎么来的呢？其实也不难得到。我们直接假设 r5c2 = 7，不难知道，因为飞鱼的特性，r5c2 = 7 会造成基准单元格 r5c46 无法填 7，于是目标单元格就必须没有 7。再加上 r5c2 排除掉 r5c8(7) 的情况，这样 b6 就没办法填 7 了，所以就矛盾了；同理，r5c8 <> 2 也可以这么得到，看 b4(2) 就可以。

这还是比较简单的。那么我们把这些数删掉，看看还有没有其他结论。

潜在删数 2：二号模式四数组

除了之前我们找出的部分，我们还能得到一个二号模式四数组，它位于 r28c46：

这四个单元格也是一个跨区四数组。这怎么论证呢？

显然，r28c46 四个单元格只可能有三种情况要讨论：

这四个单元格只填了两种不同的数字；
这四个单元格填三种不同的数字；
这四个单元格要填四种不同的数字。

显然第一种是矛盾的，因为四个单元格是唯一矩形的架构，填两种数字意味着直接形成唯一矩形的矛盾。所以第一种直接被我们 pass 掉。那么我们着重讨论第二种情况。

但是很不幸的是，要想证明它，目前没有什么好办法，我们只能使用穷举。结构里的 1、2、6、7 和你实际在 r2c46 和 r8c46 里填了什么并不能归拢为一样的情况而过滤掉，所以我们不能直接使用代数或别的什么好的办法；好在每一个情况都不难发现矛盾。这里我们讨论一种给各位演示一下怎么得到矛盾的。其他的就自己试试看了，毕竟每个情况都写一遍也挺费劲的。

假设我们让 r2c46 填 1 和 2，r8c46 填 1 和 6，这样是三种数字 1、2、6 都出现，是一种符合要求的情况。倘若这个情况成立，那么我们会有这样的情况发生：

如图所示。这个图里展示了多米诺环的右边这一部分。因为我们就用这一部分就可以得到矛盾。因为 c8 里包含除了 8c8 和 9c8 这两个列弱区域外，还有 1、2、6 三种数字。这对应了我们假设用的数字。

因为我们假设 1、2、6 填入，所以必然我们可以得到 r1c8 = 2、r3c8 = 1 和 r9c8 = 6 的结论。这是显然的，因为这三种数字在 b39 里既是强区域也是弱区域。有人问，这不是弱区域吗？别忘了这是多米诺环，是一个特殊的网结构。网是一个零秩结构。之前我们说过，零秩的弱区域里可以用于删数，于是删掉数字之后余下的部分就变为了强区域。

这里我们不能用弱区域，不然这么推不动。这里我们用强区域的话，尤其是 c8 的 8 和 9 的弱区域我们必须看成强区域来推理。强区域意味着 8 和 9 只能在 r1379c8 里选两个位置填。但是，1、2、6 的排除效果造成了 c8 会同时被其中三种不是 8 和 9 的数给用掉，而这整好把 r1379c8 的其中三个位置给用掉了。于是，8 和 9 无论如何都放不满，因为只有一个格子了，而 8 和 9 都是“嗷嗷待哺”准备填进去的状态，这便形成了矛盾。

说起来很长，但是实际上就是简单利用了多米诺环零秩的特征来得到矛盾。其他的情况也都如此，这里就不展示了。我们挨个论证了之后，这四个单元格是无法只填三种数的。

可以看到这个证明思路似乎对其他组合都有效，看起来可以归纳一下，但从教学的角度来说，过于复杂的数学知识实在是不便于描述，总不能用群论吧。所以这里就用了一个稳妥的枚举的思路。

总之，我们最终可以通过枚举得到第二种情况（只填三种数）也不合理。所以，这四个格子只能填四种不同的数字。

潜在删数 3：公有行列弱区域数字可造成宫内删数

很明显的是，四个单元格填四种不同的数字，那必然就得开始排列 1、2、6、7 的情况了。不过比较幸运的是，很多情况其实在讨论情况 2 枚举证明矛盾期间就已经提及过了。比如说这里的 1、2、6 共同使得 c8 产生矛盾的特征，这在 r28c46 里选取 1、2 在上方 r2c46，r8c46 填 6 和 7 的这种情况里其实也适用，就不必重复讨论了。注意讨论的时候，r2c46 和 r8c46 都要讨论一下，因为选取的数对不一样，走向会不同，要算两个情况。

那么把这些情况都排列起来，我们最终会发现一个神奇的现象。因为四个单元格被我们人为分成了 r2c46 和 r8c46 两组，而两个单元格可以选择的数字配对一共有 $C_4^2 = 6$ 种情况：

1 和 2；
1 和 6；
1 和 7；
2 和 6；
2 和 7；
6 和 7。

但是，其中多数情况已经被我们讨论过了。因为 r2c46 要从中选取一对，而 r8c46 里也要选一对讨论，所以就是找出这里面用过的两对数字的全部组合，然后去掉，于是我们就只剩下三种要讨论的情况了：

1 和 2 + 6 和 7；
1 和 6 + 2 和 7；
1 和 7 + 2 和 6。

只有这三种情况我们暂时没有讨论了。但是，1 和 2 + 6 和 7 这一对里，1、2、6 因为同时出现，所以 c8 会造成矛盾；1 和 7 + 2 和 6 的情况也是在 c2 或 c8 里造成矛盾（前文省略了没有讨论过，但是你可以自己讨论一下）。所以，唯一一种组合才是合理的：1 和 6 + 2 和 7 这种选取方式。

那么，要讨论的有两个情况：

1 和 6 放在 r2c46 里，2 和 7 放 r8c46 里；
1 和 6 放在 r8c46 里，2 和 7 放 r2c46 里。

对于情况 1 而言，我们有这样的图：

如图所示。我们有图中这 8 个位置可以用来删数。先是 r1c37 <> 9 和 r9c37 <> 8 可以直接得到——因为假设的数字，所以 1、2、6、7 传递到 b1379 里之后会分别填在 r3c8 = 1、r7c8 = 2、r3c2 = 6 和 r7c2 = 7 这四个位置。于是，89c28 四个弱区域就形成了一个类似二阶鱼一样的情况，而且还是用了同样格子的两个不同数字的二阶鱼。所以，r19 都会形成关于 8 和 9 的数对，所以位于 r19c37 的这四个数可以删（但是要注意，8 我没有删，因为最终结论里另外一种情况下是删不了的，只能删 9）；同时，r3c19 <> 9 和 r7c19 <> 8 这四个候选数也可以删。不过稍微要讨论一下。

刚才我们说，r19c28 是构成了二阶鱼的，所以 8 和 9 的分布只有可能是两种：

r1c2 = 8 和 r9c8 = 8（余下俩填 9）；
r1c2 = 9 和 r9c8 = 9（余下俩填 8）。

对于第二种很好说，因为是 9 了之后直接就和删数同宫了，所以直接可删；但是第一种的话会麻烦一些。比如说这种情况下我们可以有 r1c2 = 8 和 r1c8 = 9，然后我们可以快速知道 b3 里 r2c79 <> 9。但是因为多米诺环的特性，49r2 两个弱区域可以因为零秩的缘故转为强区域。于是 9 只能落入到 r2c13 之中。这样还是可以和 r3c1(9) 同宫造成删数；而 r3c9 <> 9、r7c1 <> 8 和 r7c9 <> 8 的结论也是完全一样的得到方式。

所以，对于 1 和 6 填在 r2c46 的所有情况讨论完了之后我们可以得到图上这 8 个位置的删数。那么，情况 2 呢？

如图所示。这个情况这 8 个数仍然可删。不过过程就不讨论了，完全是一样的。

总之，我们讨论了唯一一种可以成立的四元组 1、2、6、7 放入 r28c46 的情况，发现这 8 个多出来的数也可以删除。所以，这便是最后一部分比较好得到的潜在删数。

至此我们就把模式四数组的内容全部说完了。下一节我们将会继续探讨关于飞鱼的其他内容。

最后更新于5天前