# 交叉飞鱼 今天我们来看**交叉飞鱼**（Mutant Exocet）的内容。 ## 交叉初级飞鱼（Mutant Junior Exocet） ### 基本推理

交叉初级飞鱼

如图所示，这是一个**交叉初级飞鱼**（Mutant Junior Exocet，简称 Mutant JE）。 之前我们有了宫内飞鱼的推理思路，这回我们把交叉单元格选择从行/列 + 宫的组合改为行 + 列的组合。这次我们选择 `r2` 和 `c15` 作为交叉单元格的领域。 我们仔细观察 2、4、9 的分布。这三个数在这个例子里的摆放位置都非常巧合地落在了 `b12` 里。换言之，你只能把所有交叉单元格里出现的候选数 2、4、9 安排在 `b12` 里。所以 2、4、9 显然都只能最多在交叉单元格里填入两次。 有了这一点之后这个题就很好解决了：因为基准单元格里是 2、4、9。我们选取其中两个数填入其中，于是这两个数就会根据排除在 `c15` 延伸出来的余下 2 个位置里填写最少一次。所以，`r7c1` 和 `r9c5` 就必须是这两个选取的数字。因此，`r9c5 <> 156` 是这个题的结论。 ### 复数鱼结论 先别急。这个例子还有其他的删数。 如果我们把这个题改写成秩的样貌，你可以发现他其实是一个由 11 个强区域和 11 个弱区域所构成的、零秩的复数鱼结构。

11/11 复数鱼

如图所示。删数是图中标注的这些。这么看来，除了 `r9c5` 以外还有很多额外的删数。 这是怎么被找到的呢？其实也很简单：交叉单元格提示了我们数字的摆放的次数。按照定义规则，2、4、9 出现在 `r2` 和 `c15` 里，所以我们只需要按照这三个区域把 2、4、9 都算入结构，这样我们可以直接得到 9 个强区域，并遗留了 `r78c1` 和 `r89c5` 一共 4 个单元格的 2、4、9 没有被覆盖。 接着，我们还有基准单元格没有纳入。显然，因为我们要讨论的就是这两个单元格的填数。在强制链转秩理论推算秩的相关内容里我们提过，强制链引发分支的那个区域是按强区域来算的，所以 `r8c89` 两个单元格这里我们需要按两个单元格强区域计算，于是整个结构就有 11 个强区域了。 弱区域的话，按照前文的描述，显然 `b12` 里的 2、4、9 都可以纳入，所以这样就会有 6 个弱区域；目标单元格 `r7c1` 和 `r9c5` 按单元格弱区域纳入，这样有 8 个弱区域了。余下还有 `r8` 里的 2、4、9 都没被覆盖到。刚好我们只需要用 `r8` 作为弱区域就可以纳入全部的候选数，所以弱区域数量也是 11 个。 虽然看起来删数很多需要我们仔细推理，但是每一步的逻辑都不难被发现，因此这个结构的删数结论可以快速被我们得到，甚至不需要费多大的力。 ## 交叉高级飞鱼（Mutant Senior Exocet） 下面我们来看高级飞鱼的版本。

交叉高级飞鱼

如图所示。这个例子的删数有些诡异，我们先来看最正常的删数。 先是 `r3c2` 和 `r9c6` 作为目标单元格存在。在前一篇内容里我们说到，对于 `r3c2` 这种单元格而言，它可能会影响填入次数。因为它同时属于两个交叉单元格所在的区域里，它的填写会同时满足两个区域的这个数的填数次数，所以填一次就行；但是这不符合我们对这个推理过程的需求（不然就没办法进行下去了）。所以，我们这里强行规避这一点，让它作为目标单元格的其一，这样可以避免讨论它。 接着，基准单元格有候选数 1、6、7，我们就试着看看交叉单元格里 1、6、7 的分布情况。 * 数字 1 可以填的位置有 `r1c6`、`r3c45`、`r45c269` 这些单元格； * 数字 6 可以填的位置有 `r2c9`、`r3c78`、`r4c29` 这些单元格； * 数字 7 可以填的位置有 `r12c69`、`r3c458`、`r5c26` 这些单元格。 这很复杂了已经。我们只能慢慢去看。对于数字 1 而言，它整体只出现在 `b2`、`r45` 这三个区域里。换言之，你只需要让这三个区域里每一个区域都填一个 1 就行。这样就是最多可填入的情况，所以就是最多三个 1。那么为什么这么看代表的是“最多”呢？这是因为这个看法是类似秩理论的弱区域，秩理论里弱区域的定义为“最多填入一次”，故三个弱区域等于说是最多填三次。当然，这只是一个形象化的描述。你完全可以不用这个思路去看，你自己去枚举一下 1 的排列也可以。不过这显然就没有那么好枚举了，毕竟摆放的位置千奇百怪的。 数字 6 的话，`b3` 可以算一个，然后 `r4` 可以算一个。没了。所以 6 实际最多就能填俩。这不符合我们认知“四个交叉单元格区域只填最多三次”，所以数字 6 我们放在一旁先不管。 接着是数字 7。数字 7 的话，`b2` 可以算一个，`b3` 也可以算一个，最后是 `r5`。也可以三个弱区域归纳全部的 7，故数字 7 也可以最多填三次。 这样数下来，1、6、7 里就 6 不符合要求。我们无法继续后续的推理，因为 6 的填数会有影响。没关系，我们讨论一下 6 的存在就行了。 假设 6 在基准单元格里存在，那么另外一个单元格只能填 1 和 7 的其中一个数。因为交叉单元格里 1 和 7 是符合最多三次的规则的，所以 `r3c2` 和 `r9c6` 里必须安排至少一个 1 和 7 的填入。但是，`r7c13` 里有 6，但 6 根本就不足以让四个区域 `r3` 和 `c269` 都填有 6，毕竟 6 一共在交叉单元格里就最多才能出现俩。你想想，我还要填 1 或 7 呢，6 都不够放，你就哪怕让 `r3c2` 和 `r9c6` 都填 6 也才刚好满足 6 在这四个区域 `r3` 和 `c269` 全都出现的基础数独规则。这也才刚好，1 和 7 此时都没有目标单元格的填写位置了，全都被 6 给占了，它太霸道了。 所以呢？所以就是 6 一旦存在，我们无论如何都没办法让 1 和 7 放进去。所以，基准单元格根本就不可能有 6。那这个问题就很简单了——基准单元格只有 1 和 7，目标单元格里删除除了 1 和 7 以外的别的数字，这便有了图中除了 `r7c789 <> 6` 外的全部删数。当然了，基准单元格是 1 和 7 的显性数对了之后还有数对的删数，不过这里就不标了，不然标的就太多了，容易影响后续的推理；不过，`r7c789 <> 6` 可以标上，这毕竟不是那么好发现。 `r7c789 <> 6` 的来源很简单：`c6` 一旦确定了 `r9c6` 只能是 1 或 7 后，6 就只能填在 `r7c6` 了，所以，`r7c6 = 6` 是可以得到的结论，故 `r7c789 <> 6`。不过这里我们不建议标注为出数结论，因为只是这个题刚好能出数，其结论本质还是利用了 `c6` 下了 1 和 7 的结论之后才能具备的可填位置削减的推论。 这个结构的 `r3c2` 就是内目标单元格了。刚好它也利用了交叉飞鱼的特性，所以这个结构就称为**交叉高级飞鱼**（Mutant Senior Exocet，简称 Mutant SE），也叫**木忐忑飞鱼**或简称**木忐忑**。 > 另外，这个结构比较复杂。正所谓规则越复杂，也就意味着规则更“一般化”，所以更容易产生一些非常特殊的推理过程延续。比如这个题里删数还包含基准单元格删 6，`r7c789` 也可以删 6 这些特殊结论。它实际上并非飞鱼的基础结论（基础结论就只有俩目标单元格删 1 和 7 以外的数的结论）。但毕竟它比起宫内初级/高级飞鱼都有一定的应用上的提升，所以交叉高级飞鱼在私底下研究得也比较多一些。 > > 私底下我们也经常把它叫做“木忐忑”。木忐忑这个说法来自于 mutant 这个单词的音译，本身从汉字上看是没有什么实际含义的，但你也可以强行理解为它的推理会有一定程度的延续，所以用的时候要格外小心，因为每一步新的推理都老怕用错，所以心里很“麻木”和“忐忑”。不过要注意，木忐忑虽然是来自于 mutant，但它专门指代的是高级飞鱼版本。初级飞鱼一般不叫木忐忑。 ## 一些例子 ### 例子 1：木忐忑 + 隐性待定数组

例子 1

如图所示。这个例子和之前的推理差不多，数字 9 需要单独讨论，因为在交叉单元格里 9 只能最多填两个，但是 3 和 7 都能最多填三个。 假设基准单元格 `r9c78` 有 9，则 9 无法填满使得满足四个区域 `c269` 和 `r4` 这四个区域，不然目标单元格 `r7c1` 和 `r456c9` 都必须有 9 的容身之所。就算你填进去了，3 和 7 的其一在 `r9c78` 里也会有一个，那么此时这个数就无论如何都找不到合理的目标单元格可填了。 要注意的是，这个题 `r456c9` 里有 2 和 4 的隐性待定数组，这意味着 `r456c9` 里有一个是 2 有一个是 4，余下的一个格子才能作为目标单元格存在。这一点和之前有一个例子差不多，不过那个例子用的共轭对，这里继续推广成了一个待定隐性数组。其实说人话就是，2 和 4 在 `c9` 里只能填在 `r456c9` 里，所以 `r456c9` 必须有一个 2 和一个 4。 另外，因为 `r9c1` 在目标单元格只能是 3 和 7 的结论形成之后，它是唯一一个在 `c9` 可以填 9 的数字。所以，`r9c56 <> 9` 也可以删数。因此本题的删数有图上这些。 ### 例子 2：木忐忑 + 共轭对

例子 2

如图所示。这个例子也是一样的。就自己看了。 ### 例子 3：木忐忑 + 借格

例子 3

如图所示。这个例子是最普通的交叉高级飞鱼，甚至不需要前面那么复杂的讨论，它只能删除了 1、2、8、9 以外的、目标单元格里的候选数。这个题甚至只有一个删数 `r5c3 <> 7`。 不过，要注意的是，这个题的目标单元格选择在 `r5c3` 和 `r8c8`；反倒是 `r9c5` 这个单元格会被算进交叉单元格里。如果不纳入进来的话，按道理它应该会被纳入到目标单元格里，于是目标单元格就会有三处。如果我们不按图上这么选择目标单元格的话，`r5c3` 里的 1、2、9 讨论起来就会非常麻烦。 当然了，你也可以把 `r9c8` 这个单元格纳入交叉单元格，只不过没有意义，因为它不是 1、2、8、9，而且还是个明数，根本不会影响交叉单元格里填入次数的讨论。 ### 例子 4：木忐忑

例子 4

如图所示。这也是一个交叉高级飞鱼的最基础的版本，而且还只有三个交叉单元格区域 `c3` 和 `r68`。 ### 例子 5：交叉初级飞鱼

例子 5（基础删数）

如图所示。这个例子比较复杂。我们拆开说。 假设基准单元格里是 $$a$$ 和 $$b$$（$$a$$ 和 $$b$$ 是 1、2、4、8 里的其二），那么检查 1、2、4、8 在交叉单元格里的排列。 * 数字 1 能填最多三个，因为弱区域可以选取 `c3`、`b23` 这三个； * 数字 2 能填最多三个，弱区域可以选取 `b23`，但 `c3` 有 2 的明数，所以 `c3` 自动满足； * 数字 4 能填最多三个，弱区域可以选取 `b23` 和 `r9`； * 数字 8 能填最多三个，弱区域可以选取 `c7`、`r9`，而 `r1` 有 8 的明数所以自动满足。 所以所有数字在四个区域 `r1` 和 `c347` 里的交叉单元格上都是最多出现三次。于是，目标单元格必须是 $$a$$ 和 $$b$$ 才能保证这两个数填够，所以 `r6c3 <> 3` 结论成立。 不过，结论远不是这么一点。还记得 T 邻（镜面单元格）吗？在交叉初级飞鱼里它也是适用的——`r5c56` 里必须存在一个格子填的数字和 `r6c3` 相同；`r6c12` 里必须存在一个格子填的数字和 `r5c4` 相同。所以，`r5c6 <> 5` 和 `r6c12 <> 7` 删数也成立。为什么 `r6c12` 也能删呢？因为 `r6c12` 里有一个 3。因为 `r6c3 <> 13` 之后，`r6c12` 里就必须有 3 的存在。这个题里刚好只有 `r6c1` 可以是 3，所以 `r6c1 = 3` 是可以当出数结论成立的。不过讲道理这里应该是看成 `r6c12` 存在 3 的区块（或者说共轭对），然后才有镜面单元格的删数——因为有一个格子是填 3，另外一个格子自然就是填的和 `r5c4` 一样的数，所以无论如何都轮不到填 7。 还有删数吗？有的兄弟，有的。还记得刚才我们讨论填数次数的规则吗？数字 8 最多填三次看起来确实有些奇怪。虽然它确实满足填最多三次，但实际上这个 8 根本就不可能填在 `r9c7` 这个枢纽上——它刚好处于 `c7` 和 `r9` 的交集上。倘若它是 8，那么 8 就填不了最多三次，因为 8 在交叉单元格里的分布位置除了 `r1c2` 的明数外，只有 `c7` 和 `r9` 上才有 8 的位置。你往 `r9c7` 填 8 就意味着 8 的所有别的位置全部会被干掉。于是，8 的落脚点只能在 `r456c34` 这几个位置。这几个位置里要摆两个 8 才能保证 `r1` 和 `c347` 都符合填了 8 的基础数独规则。 但是很明显，要填两个 8 就意味着 `r4c34` 里必有 8，于是 `r4c89` 基准单元格就不能有 8，但这么做带来的问题是 `r5c4` 和 `r6c3` 里又有 8，这便带来的不同步的矛盾（基准单元格和目标单元格的填数要保持一致）。所以，`r9c7 = 8` 是矛盾的。同理，和这个证明思路差不多的还有 `r9c1 <> 8` 和 `r6c3 <> 1`，假设为真也可以这样造成矛盾。 完了吗？还没有，不过其他的删数讨论起来就过于暴力了，这里就不提了。总之，我们能按基础的推断可以得到的删数有上面这些：

例子 5（不太暴力的全部删数）

不过，`r6c3 <> 1`、`r9c17 <> 8` 相对来说也都挺麻烦的，需要讨论填入后反得交叉单元格填充次数的矛盾，这个确实有些复杂。不过老外似乎专门给这个讨论思路取了个名字，叫**兼容性测试**（Compatibility Test）。不过老外的这个说法不止是这种矛盾，它还涵盖了之前介绍的 X 致命造成删数矛盾的情况，属于是只要不兼容的填数全都删。这个名称叫什么无所谓，甚至兼容性测试都测试哪些位置，范围也无所谓。我们想讨论的目的是让你将能删的数找全；如果只能通过暴力破解去找矛盾的话，显然这不符合我们教学，对结构分析有效且优雅的初衷，所以我们就不过多讨论了。 至此我们就把交叉飞鱼的内容介绍完了。下一节将带着大家看看飞鱼和多米诺环交织的特殊用法。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://sudoku.kazusa.tech/exocet/10-mutant-exocet.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.