飞鱼的基本推理

Reasoning of Exocet

欢迎各位来到新的篇章。这个篇章的内容只阐述一个数独技巧，但它的理解成本比较高，还具备非常多的变体，因此在实战中并不实用。这个技巧主要还是用于研究其推理逻辑。

另外，这种技巧规模一般较大，所以在普通的题目里即使存在，也较难进行分析和推理，所以即使这个技巧存在于题目里可以用于删数，大多也不会在前面只依靠链就可以解题的题目里使用。

一个看起来就很复杂的题

如图所示。

请将视野关注到 c258 上来。我们把 c258 三列的所有 27 个单元格分成两组看。其中一组是图中涂色了的 18 个单元格，而余下 9 个没有涂色、但也在这三列里的 9 个单元格则作为另外一组。

然后我们还可以看到 r5c46 两个单元格只有候选数 1、3、6 三种数字。这看起来有点像待定数组，不过后续会告诉你这跟待定数组暂时没有关系，只是这个题恰好有三种数字罢了。不过，这三个数字确实会对刚才 27 个单元格的填数状态有一定影响。

请仔细观察图中 c258 里涂色的这 18 个单元格，并着重观察数字 1、3、6 的分布。不难发现，显然在 18 个单元格里，数字 1 只能在这 18 个单元格里填入最多两个，而 3 和 6 也都只能最多填入进去两个。因为 c258 一共有三列，所以按理说，数字 1、3、6 都必须出现三次才对，但涂色的 18 个单元格最多只能允许往里塞 2 个 1、2 个 3 和 2 个 6，所以余下的 9 个未涂色的单元格里就必须最少填一个 1，一个 3 和一个 6，这样三列才能凑齐填入三次 1、3、6 的情况。

所谓“最多出现 2 次”的意思是，你往里放这个数字，你会发现因为就三个不同的列，你要保证数字能不违反数独的基础规则的前提下，尽可能多地往里面塞这个数，那么这个最多的情况只能是 2 个。比如 1 出现的单元格有 r1c58 和 r9c25 四个单元格。最少肯定填 1 个就行；但最多就只能把 2 安排在不同行的两处位置，但你如果要往里塞 3 个 1，这肯定是放不下的。所以我们就认为这个 1 最多只能填两次。同理，3 和 6 也都这么去看。

好的。下面我们假设 r5c46 的填数。因为它只能填两个数进去，所以不妨我们暂时用字母表示。比如 r5c46 分别填了 $a$ 和 $b$ （此时 $a$ 和 $b$ 是 1、3、6 的其中两个数）。那么，显然按照代数的排除操作，r5c28 和 r46c5 则都不能填 $a$ 和 $b$ 了。于是，在未涂色的 9 个单元格里，只剩下预留的两处单元格 r4c2 和 r6c8 是可以填 $a$ 和 $b$ 的地方了。

可能你想问我此时除了 $a$ 和 $b$ 外的余下那个数字还能怎么填，这其实反倒无关紧要。因为 r5c46 并未限制 $c$ （最后那个数字）的填数，所以很显然 $c$ 是可以随意找到合适的位置放进去的。换言之，刚才说的 r46c5 和 r5c28 这些被排除掉的位置并不会因为 r5c46 的填数受到任何影响，所以他们都可以放 $c$ 。

总之，我们只能让 r4c2 和 r6c8 填 $a$ 和 $b$ 。那么很明显，因为 $a$ 和 $b$ 是 1、3、6 的其二，所以这两个单元格自然也必须是 1、3、6 的其二。因此，r4c2 <> 24 便是本题的结论。

这个技巧我们称为飞鱼导弹，简称飞鱼（Exocet）。这个技巧名非常的酷炫，但难度也是非常的“酷炫”。整个这么大的结构结果就能删一两个候选数，太难受了。不过这个技巧后续会得到一定程度的推广，到时候可能会有更多的删数，不过我们还是循序渐进慢慢学。

下面我们再来看一个例子。

如图所示。这个例子和刚才的一样，不过得横着看。这次选取的是三行：r347。然后结合 r12c3 的填数得到 r47c1 只能是 1、2、3 的其二，进而得到结论。

这个例子就自己照着推理一遍就行，逻辑几乎是一样的，就不赘述了。

基本术语

飞鱼技巧是一个系列，它的结构里很多“部件”都可以参与拓展和推广，进而得到不一样的删数。为了之后对结构描述得更为具体一些，这里我们列举一下这个技巧的相关术语。

基准单元格（Base Cells 或 Base）：例子里配色为绿色的两个单元格。这两个单元格用于推出目标结论之前作填数假设用。基准单元格最多只能有两个，但可以只有一个单元格，这一点之后说明；
目标单元格（Target Cells 或 Target）：例子配色为橘色的两个单元格。这两个单元格用于得到结论。一般只有两个，但可以更多，最多可以到 4 个，最少 1 个，这一点之后说明；
交叉单元格（Crossline Cells 或 Crossline）：例子里配色为蓝色的 18 个单元格。指的是结构需要讨论基准单元格里所给出的全部数字的排列的那 18 个单元格。注意它不是指 27 个全部的格子，只指代图中 18 个涂色的部分。不过变体可能会用四个行列而非三个，所以 18 可能会变为 24，这一点之后说明。

还有一些其他的术语，我们将在之后遇到使用的时候再作出说明，这里全都一股脑扔出来了也记不住。

基准格里包含 4 个数字的飞鱼

下面我们来看两种基准格里不止 3 个数字的情况。

如图所示，这次基准单元格有 4 种不同的数：2、5、6、7。虽然两个单元格里不再像之前一样，两个单元格候选数状态都是一样的，这次左边缺 2、右边缺 5，但这并不妨碍我们继续后续的推理，所以无关紧要。

我们关注的交叉单元格是图中 r456789c247 这 18 个单元格。观察 2、5、6、7 的分布，显然这 18 个单元格里，2、5、6、7 全都只能最多出现两次。那么，和之前一样，r123c247 这 9 个单元格里，就必须让 2、5、6、7 全都最少放一次才行。

那么，假设基准单元格 r1c56 填的是 $a$ 和 $b$ ，那么不难根据排除效果可得， $a$ 和 $b$ 就只能填在 r2c2 和 r3c7 之中。所以，r2c2 和 r3c7 就不能填除了 2、5、6、7 以外的别的数字，故这个题的结论就是 r2c2 <> 3。

我们再来看一个例子。

如图所示。这次基准单元格是 r89c3，目标单元格是 r3c1 和 r5c2，交叉单元格是 r357c456789 这 18 个单元格。

这个就自己看了。

最后更新于25天前