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# 均衡数组

从使用技巧的角度来说，其实这个技巧并不算有任何用的技巧；但对于整合教程而言，本技巧仍然具有一定程度上不可替代的作用。所以才有了这样的技巧。

## 均衡数对（Aligned Pair Exclusion） <a href="#aligned-pair-exclusion" id="aligned-pair-exclusion"></a>

<figure><img src="/files/R2CVwNnja4zPB0mr0zVO" alt="" width="375"><figcaption><p>均衡数对</p></figcaption></figure>

如图所示。请着重假设 `r12c6` 两个单元格。这两个单元格各有三个候选数，所以我们需要对两个单元格的所有可能填写的情况进行排列组合。显然，因为一边三个候选数，所以一共有 9 个情况。我们依次进行列举。

| r1c6 填数 | r2c6 填数 | 填数是否合理 | 原因             |
| :-----: | :-----: | :----: | -------------- |
|    1    |    1    |    ❌   | 重复             |
|    1    |    4    |    ⭕   |                |
|    1    |    8    |    ❌   | 导致 `r9c6` 无数可填 |
|    2    |    1    |    ❌   | 导致 `r1c4` 无数可填 |
|    2    |    4    |    ⭕   |                |
|    2    |    8    |    ❌   | 导致 `r7c6` 无数可填 |
|    9    |    1    |    ⭕   |                |
|    9    |    4    |    ⭕   |                |
|    9    |    8    |    ❌   | 导致 `r3c5` 无数可填 |

在进行了排列操作后，我们发现所有 9 个情况里，组合 (1, 1)、(1, 8)、(2, 1)、(2, 8) 和 (9, 8) 五种组合是错误的填数组合；而很容易地看出，当 `r2c6` 填入 8 时，它能对应的全部组合情况均是错误的。所以，我们可以认为，`r2c6` 不能填 8。所以这个题的结论就是 `r2c6 <> 8`。

我们把这个技巧称为**均衡数组**（Aligned Exclusion）。而这个例子又是两个单元格的情况，所以我们针对于这种情况称为**均衡数对**（Aligned Pair Exclusion，简称 APE）。

另外在数学上，我们把上述这种排列组合的行为称为**笛卡尔积**（Cartesian Product），即两个或多个集合里的元素全部逐一进行排列组合，不论这些集合互相在逻辑、理解和概念上是否有关联，组合起来就完事了。笛卡尔积在生活中的应用非常多，例如说纸牌的各种牌型是花色（4 个）和点数（13 个）的笛卡尔积的结果。

## 均衡三数组（Aligned Triple Exclusion） <a href="#aligned-triple-exclusion" id="aligned-triple-exclusion"></a>

在均衡数对的基础上，我们还可以把结构推广为三个单元格的排列。

<figure><img src="/files/IOwH9hDBkH8EbhT4rBgI" alt="" width="375"><figcaption><p>均衡三数组</p></figcaption></figure>

如图所示。我们针对于 `r1c6`、`r2c12` 三个单元格进行排列。我们可以很容易地发现，因为三个单元格均为双值格，所以假设起来一共有 8 个情况。假设如下：

| r1c6 填数 | r2c1 填数 | r2c2 填数 | 填数是否合理 | 原因             |
| :-----: | :-----: | :-----: | :----: | -------------- |
|  **5**  |    3    |  **4**  |    ❌   | 导致 `r2c5` 无数可填 |
|    5    |    3    |    6    |    ⭕   |                |
|  **5**  |  **5**  |  **4**  |    ❌   | 导致 `r2c5` 无数可填 |
|    5    |    5    |    6    |    ⭕   |                |
|    8    |  **3**  |  **4**  |    ❌   | 导致 `r1c3` 无数可填 |
|    8    |    3    |    6    |    ⭕   |                |
|    8    |  **5**  |  **4**  |    ❌   | 导致 `r2c5` 无数可填 |
|    8    |    5    |    6    |    ⭕   |                |

和前文一样，我们作笛卡尔积后可得到 8 个情况里的其中四个是错误的。并且，我们还发现，错误的四个组合下，`r2c2` 单元格填入 4 时所拥有的、`r1c6` 和 `r2c1` 的所有排列情况均会造成矛盾。因此，这个题的结论是 `r2c2 <> 4`。

我们把这个情况称为**均衡三数组**（Aligned Triple Exclusion，简称 ATE）。

## 均衡四数组（Aligned Quadruple Exclusion） <a href="#aligned-quadruple-exclusion" id="aligned-quadruple-exclusion"></a>

这个结构还有更高的规格，而且可以从结构看出，它似乎并不受任何形式的制约（如必须在同行列宫之类的）。所以，理论上均衡数组的规格可以超过 4。但是，假设的情况也相对应地增大；而且这还是随着空格里候选数的数量，不断求乘积得到的，所以增大的幅度会非常大。不论是对人类思考这种排列情况而言，还是对于电脑进行死板地排列组合而言，也都是不小的工作量。因此，本教程就到四数组就结束。

<figure><img src="/files/AjolyLhspuWQv9cwvEW4" alt="" width="375"><figcaption><p>均衡四数组</p></figcaption></figure>

如图所示。本题需要假设的单元格是 `r7c6`、`r8c27` 和 `r9c4` 一共 4 个单元格。

笛卡尔积假设的情况就全部略过了（不然表格都很长，一共有 54 项）。总之，在假设之后，我们发现，假设 `r8c2 = 7` 时，其他三个单元格的全部 18 种组合都会引发矛盾。所以，这个假设是错误的，故这个题的结论是 `r8c2 <> 7`。

我们把这个规格称为**均衡四数组**（Aligned Quadruple Exclusion，简称 AQE）。

至此，我们就把均衡数组的内容全部讲完了。虽然它看起来仍旧很暴力，但它的本质逻辑“笛卡尔积”并不是一个很难以理解的东西。

## 均衡五数组（Aligned Quintuple Exclusion） <a href="#aligned-quintuple-exclusion" id="aligned-quintuple-exclusion"></a>

<figure><img src="/files/fn5ZvwyRZhVY7dWAH4Rc" alt="" width="375"><figcaption><p>均衡五数组</p></figcaption></figure>

如图所示。这个例子展示了单元格 `r7c9`、`r89c56` 五个单元格的讨论情况。整体讨论了之后造成矛盾的反而只用了 `r7c456` 三个单元格而已。这个例子已经来到五个单元格了，被称为**均衡五数组**（Aligned Quintuple Exclusion）。

## 均衡数组和 Wing 的转化 <a href="#some-aligned-exclusion-can-be-transformed-to-wings" id="some-aligned-exclusion-can-be-transformed-to-wings"></a>

不知道你是否有这种感觉，均衡数组和 Wing 看起来有一些关联。实际上他们确实有一定的转化关系。

<figure><img src="/files/2PAUGqowCqJX488T6ZRE" alt=""><figcaption><p>直接将删数单元格纳入</p></figcaption></figure>

如图所示。左图是残缺 WXYZ-Wing 的样子，右图则是均衡数组的样子。显然右图的意思是想按 9 的排列然后得到 9 全部的组合都无效的结论。不过这种讨论显然和左图的删数思路是刚好反过来的。

当然，这个不总是满足的，因为讨论的单元格并不足够多，有些时候可能需要更多枚举的单元格数量。仅依赖删数单元格肯定是不够的。下面是均衡五数组（刚才的例子）的 VWXYZ-Wing 互相转化视角。

<figure><img src="/files/9BxmXSyBvQQq4UyRMny1" alt=""><figcaption><p>VWXYZ-Wing 和均衡五数组</p></figcaption></figure>

如图所示。