# 均衡数组从使用技巧的角度来说，其实这个技巧并不算有任何用的技巧；但对于整合教程而言，本技巧仍然具有一定程度上不可替代的作用。所以才有了这样的技巧。 ## 均衡数对（Aligned Pair Exclusion）

如图所示。请着重假设 `r12c6` 两个单元格。这两个单元格各有三个候选数，所以我们需要对两个单元格的所有可能填写的情况进行排列组合。显然，因为一边三个候选数，所以一共有 9 个情况。我们依次进行列举。 | r1c6 填数 | r2c6 填数 | 填数是否合理 | 原因 | | :-----: | :-----: | :----: | -------------- | | 1 | 1 | ❌ | 重复 | | 1 | 4 | ⭕ | | | 1 | 8 | ❌ | 导致 `r9c6` 无数可填 | | 2 | 1 | ❌ | 导致 `r1c4` 无数可填 | | 2 | 4 | ⭕ | | | 2 | 8 | ❌ | 导致 `r7c6` 无数可填 | | 9 | 1 | ⭕ | | | 9 | 4 | ⭕ | | | 9 | 8 | ❌ | 导致 `r3c5` 无数可填 | 在进行了排列操作后，我们发现所有 9 个情况里，组合 (1, 1)、(1, 8)、(2, 1)、(2, 8) 和 (9, 8) 五种组合是错误的填数组合；而很容易地看出，当 `r2c6` 填入 8 时，它能对应的全部组合情况均是错误的。所以，我们可以认为，`r2c6` 不能填 8。所以这个题的结论就是 `r2c6 <> 8`。我们把这个技巧称为**均衡数组**（Aligned Exclusion）。而这个例子又是两个单元格的情况，所以我们针对于这种情况称为**均衡数对**（Aligned Pair Exclusion，简称 APE）。另外在数学上，我们把上述这种排列组合的行为称为**笛卡尔积**（Cartesian Product），即两个或多个集合里的元素全部逐一进行排列组合，不论这些集合互相在逻辑、理解和概念上是否有关联，组合起来就完事了。笛卡尔积在生活中的应用非常多，例如说纸牌的各种牌型是花色（4 个）和点数（13 个）的笛卡尔积的结果。 ## 均衡三数组（Aligned Triple Exclusion）在均衡数对的基础上，我们还可以把结构推广为三个单元格的排列。

如图所示。我们针对于 `r1c6`、`r2c12` 三个单元格进行排列。我们可以很容易地发现，因为三个单元格均为双值格，所以假设起来一共有 8 个情况。假设如下： | r1c6 填数 | r2c1 填数 | r2c2 填数 | 填数是否合理 | 原因 | | :-----: | :-----: | :-----: | :----: | -------------- | | **5** | 3 | **4** | ❌ | 导致 `r2c5` 无数可填 | | 5 | 3 | 6 | ⭕ | | | **5** | **5** | **4** | ❌ | 导致 `r2c5` 无数可填 | | 5 | 5 | 6 | ⭕ | | | 8 | **3** | **4** | ❌ | 导致 `r1c3` 无数可填 | | 8 | 3 | 6 | ⭕ | | | 8 | **5** | **4** | ❌ | 导致 `r2c5` 无数可填 | | 8 | 5 | 6 | ⭕ | | 和前文一样，我们作笛卡尔积后可得到 8 个情况里的其中四个是错误的。并且，我们还发现，错误的四个组合下，`r2c2` 单元格填入 4 时所拥有的、`r1c6` 和 `r2c1` 的所有排列情况均会造成矛盾。因此，这个题的结论是 `r2c2 <> 4`。我们把这个情况称为**均衡三数组**（Aligned Triple Exclusion，简称 ATE）。 ## 均衡四数组（Aligned Quadruple Exclusion）这个结构还有更高的规格，而且可以从结构看出，它似乎并不受任何形式的制约（如必须在同行列宫之类的）。所以，理论上均衡数组的规格可以超过 4。但是，假设的情况也相对应地增大；而且这还是随着空格里候选数的数量，不断求乘积得到的，所以增大的幅度会非常大。不论是对人类思考这种排列情况而言，还是对于电脑进行死板地排列组合而言，也都是不小的工作量。因此，本教程就到四数组就结束。

如图所示。本题需要假设的单元格是 `r7c6`、`r8c27` 和 `r9c4` 一共 4 个单元格。笛卡尔积假设的情况就全部略过了（不然表格都很长，一共有 54 项）。总之，在假设之后，我们发现，假设 `r8c2 = 7` 时，其他三个单元格的全部 18 种组合都会引发矛盾。所以，这个假设是错误的，故这个题的结论是 `r8c2 <> 7`。我们把这个规格称为**均衡四数组**（Aligned Quadruple Exclusion，简称 AQE）。至此，我们就把均衡数组的内容全部讲完了。虽然它看起来仍旧很暴力，但它的本质逻辑“笛卡尔积”并不是一个很难以理解的东西。 ## 均衡五数组（Aligned Quintuple Exclusion）

如图所示。这个例子展示了单元格 `r7c9`、`r89c56` 五个单元格的讨论情况。整体讨论了之后造成矛盾的反而只用了 `r7c456` 三个单元格而已。这个例子已经来到五个单元格了，被称为**均衡五数组**（Aligned Quintuple Exclusion）。 ## 均衡数组和 Wing 的转化不知道你是否有这种感觉，均衡数组和 Wing 看起来有一些关联。实际上他们确实有一定的转化关系。

如图所示。左图是残缺 WXYZ-Wing 的样子，右图则是均衡数组的样子。显然右图的意思是想按 9 的排列然后得到 9 全部的组合都无效的结论。不过这种讨论显然和左图的删数思路是刚好反过来的。当然，这个不总是满足的，因为讨论的单元格并不足够多，有些时候可能需要更多枚举的单元格数量。仅依赖删数单元格肯定是不够的。下面是均衡五数组（刚才的例子）的 VWXYZ-Wing 互相转化视角。

如图所示。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://sudoku.kazusa.tech/full-marking-techniques/13-aligned-exclusion.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.