# 同数链和异数链的定义 之前我们学习了链的一些基础的定义和推理逻辑，这里我们再次回顾一下。 1. **链的开头和结尾都必须是强链关系；** 2. **链头应固定为假，并得到链尾为真；** 3. **链节点的真假性应交替出现，而对于强弱关系而言，则也是交替的；** 4. **链的长度一定是一个奇数，而链的节点数则一定是一个偶数；** 5. **链的头尾至少有一个为真。** 然后回顾一下强弱关系的定义： * **强链关系：如果一个节点设为假可得到另一个节点为真时，则我们认为他俩有强链关系；** * **弱链关系：如果一个节点设为真可得到另一个节点为假时，则我们认为他俩有弱链关系。** 下面我们带着这些内容，继续看后面的知识点。 ## 同数链（X-Chain）

同数链

如图所示。这也是一条链，不过它比之前我们学到的双强链多了一个强链。它的长度达到了 5。不过推理还是挺容易的。 首先针对于候选数 `r4c2(3)` 讨论两种真假性情况： * 如果 `r4c2 = 3`，则暂时无需考虑后续逻辑； * 如果 `r4c2 <> 3`，则可根据 `r4`、`b9` 和 `c5` 三个共轭对，并最终真假交替得到 `r6c5 = 3` 的结论。 两种情况下至少有一个成立，所以 `r4c2` 和 `r6c5` 将有至少一个单元格填的是 3。所以，`r6c123 <> 3` 是这个题的结论（他们三个之中有一个是 3 就会破坏掉我们刚刚得到的结论）。 还是和之前一样，写一下链的文本表达： ``` r4c2(3) == r4c8(3) -- r8c8(3) == r7c9(3) -- r7c5(3) == r6c5(3) => r6c123 <> 3 ``` 可以看到，前面介绍的这个链所有的节点均用的是同一个数字（这不废话么）。我们把这种链称为**同数链**、**单数链**或**单链**（X-Chain），表示所有的节点均指向同一种数字；英文名 X-Chain 的 X 在这里表示的是未知数 $$x$$。比如说这里你可以认为 $$x = 3$$。 我们再来看一个例子。

同数链，另一个例子

如图所示。这个链表示如下： ``` r1c2(7) == r1c9(7) -- r2c8(7) == r7c8(7) -- r7c3(7) == r4c3(7) => r4c2 <> 7 ``` 因为推理完全一样，所以就不重复说明了，这里就自己理解了。 ## 异数强弱关系的引入 如果链只能用于同一种数字，那好像就没啥意义了。下面我们将强弱关系的推导稍微推广一下。 ### 异数强链关系 我们想象一下这种情况。假设一个单元格是双值格（只有两个候选数）。如果我们假设其中某一个候选数为假，那么另外一个候选数就必须为真。因为这个单元格必须要填一个数字进去。当其中一个候选数为假时，意味着这个单元格将会变为唯一余数，因此剩下的另外一个候选数必须为真。 也就是说，如果一个单元格是双值格时，我们仍然可以得到一个节点为假推到另一个节点为真的情况。而这是符合我们之前学习的强弱关系的定义的，确切来说是强关系的这一部分。 是的。我们可以参考这个规则推广一下强链的用法，以让它可以用于不同数字之间进行推理，避免链的推理过程过于单调。 ### 异数弱链关系 既然强链关系可用于不同数字之间，那么自然弱链关系也可以。 回顾一下弱链关系在同数状态下的用法。我们之前似乎并未特别针对于弱链的论证进行复杂的阐述，这是因为它是普通存在于题目之中的：两个相同的数字，一个填了另一个在同一个行列宫的肯定就不能填了，不管这个行列宫里有多少个相同的这个数的填数位置，2 个也好，更多个也好，这都不重要。 那么对于不同数字之间的弱链关系其实也是类似的，只不过因为是不同数字之间的论证，所以就不能看同行列宫的状态了，而是单元格内的状态。只要相同的一个单元格里，任取一个候选数填入（为真），则这个单元格就永远不可能再填别的数字了。所以这样也就客观存在弱链关系。 所以，总结一下： * 强链关系 * 同数：同一个行列宫里只有两处可填位置； * 异数：同一个单元格里只有两个候选数。 * 弱链关系 * 同数：同一个行列宫里的任意两个相同的数字； * 异数：同一个单元格里的任意两个候选数。 借用这一点，我们就可以轻松地构造出不同数字之间的强弱关系，并将其用于链技巧里。 ## 异数链（Multidigit Chain）

异数链

如图所示。链的记号如下： ``` r3c3(3) == r3c4(4) -- r3c4(9) == r7c4(9) -- r7c4(2) == r7c2(2) -- r4c2(2) == r4c2(3) => {r1c2, r5c3} <> 3 ``` 我们试着推理一下。 * 如果 `r3c3 = 3`； * 如果 `r3c3 <> 3`，则因为共轭对的关系有 `r3c4 = 3`，于是同一个单元格里 `r3c4 <> 9`。接着往后一直推理可以到 `r4c2 <> 2`。而因为 `r4c2` 是双值格，所以此时 `r4c2` 变为唯一余数，故有 `r4c2 = 3` 的结论。 所以，`r3c3` 和 `r4c2` 里至少有一个单元格是填 3 的。所以这个题的结论是 `{r1c2, r5c3} <> 3`。 我们就把这种利用了不同数字之间的强弱关系的链称为**异数链**、**多数链**或**多链**（Multidigit Chain）。 我们再来看一个例子。

异数链，另一个例子

如图所示。链表示如下（这是最后一次用这个表示）： ``` r2c3(8) == r2c3(3) -- r1c3(3) == r1c7(3) -- r3c7(3) == r3c7(2) -- r3c4(2) == r3c4(8) => {r2c6, r3c2} <> 8 ``` 这个例子也希望你能自己看。 > 这里我需要补充说一句。因为这个链的箭头画起来挺不好弄的，所以对于图中比如 `r3c7` 单元格内的强链关系和前一个例子里 `r4c2` 里的这个强链关系，如果画起来比较困难的话（太短了画不下），以后配图里就不体现了。但是你要知道它是连起来的。 ## 尤里卡链记法 之前我们都用的是完整版的文本描述在表达这些链。显然看起来他们之后只会越来越长。所以我们这里介绍给各位一种简化的写法规范，以便后续描述的时候更为方便和精简一些。 首先，空格全都是不必要的。为了紧凑表述他们，链表达里的所有空格都可以去掉；当然也可以不去掉，这取决于你自己。 其次，我们使用的坐标表示方式是形如 `r2c3(8)` 这样单元格坐标加括号加数字的模式。在链的紧凑写法下，数字 8 是可以提前到坐标之前的，记作 `8r2c3` 或 `(8)r2c3`。这种写法本身并没有简化书写，但它可以配合强弱关系的简化模式。 然后，如果一个强弱链关系发生在一个单元格之中时，单元格坐标就不用展开写，而是将强弱链关系的记号 `==` 和 `--` （以及 `=` 和 `-`）直接写进小括号里。比如 `r2c3(3)==r2c3(8)` 可记为 `r2c3(3==8)` 或者 `r2c3(3=8)`。不过我们在这种简写模式下一般会把括号写在坐标的左边，即 `(3==8)r2c3` 或 `(3=8)r2c3`。 总体通过这四点的简化，链的文本就会显得更为紧凑。比如前面这个例子里的简化写法就是这样的： ``` (8=3)r2c3-3r1c3=3r1c7-(3=2)r3c7-(2=8)r3c4 ``` 这样就简单不少了。我们把这种简化后的链的文本格式称为**尤里卡链记法**（Eureka Notation）。是的，不用怀疑，这种只用于简化链书写格式的方式，它居然还有一个名字。 至此我们就介绍了定义的部分。之后我们将对这个异数链的内容继续进行展开介绍。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://sudoku.kazusa.tech/chain-theory/02-x-chain-and-multidigit-chain/01-definition-of-x-chain-and-multidigit-chain.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.