# 环的基本推理 什么是环呢？我们先来看一个例子。 ## 连续环（Continuous Nice Loop）

连续环

如图所示。这是一个普通得不能再普通的环。红色的全是删数（一共有 11 个），不过我们得一点一点来学。这个环的写法如下： ``` (8=7)r1c2-7r3c1=(7-1)r6c1=(1-2)r6c2=2r6c5-(2=3)r5c4-(3=5)r7c4-5r7c6=(5-8)r4c6=8r1c6-8r1c2 ``` 我们发现，这个链的强弱关系完全交替进行，但我们绕着环看一整圈都未必能发现起点在哪里。既然如此，我们为了强制能看成链，我们任意拆掉其中一个弱链关系，把它断开，因为断开的是弱链关系，所以头尾的强链关系得以保留，链仍然可以成立。 就这么干。我们发现，比如我们断开 `8r1c2-8r1c6` 这个弱链关系，那么这个环就会从 `r1c2(8)` 开始往下走，然后走了一条很长的链回到 `r1c6(8)` 结束。此时，因为链是成立的，所以删数应该看的是头尾的交集。链头是 `r1c2(8)`，而链尾是 `r1c6(8)`。他们同在一个行上（这不废话吗？）。所以，同一行上的其余位置的候选数 8 理应是可以去掉的。这样我们就得到了 `r1c9 <> 8` 的结论。 看起来，这个环路因为强弱是完全交替的，所以看起来似乎断开哪一个弱链关系都不会影响到链的成立。那么我们把所有弱链每一个都断开一下，然后去找删数。我们就可以发现，把他们每一个断开后找到的删数序列全部整理出来，便是这个图里画出来的所有红色的删数。 这里要补充一点：千万别忘了单元格里的删数。比如例子里 `r6c1(3)` 可以删，它删数的由来是断开了 `(7-1)r6c1` 这个弱链关系得到的。而因为链的头尾均在同一个单元格，所以这个单元格里必须填一个 1 或 7，所以别的候选数都填不进去。 我们把这个技巧称为**连续环**（Continuous Nice Loop，简称 CNL），一般也简称为环。 实际上，环的极限远不止这样。下面我们来看一个例子，一共有 17 个删数。

删 17 个数的连续环

你可以自己看看这个例子。虽然看着挺复杂的，但是好在它其实就是多用了几次强弱链关系的编排方式而已，只要链能看明白，环肯定就能看明白。 ## 环的一些特征 从前面的例子可以看出来，环具有如下的一些特征： * 任意弱链关系都可以拆掉，剩下的都将构成一个链； * 环里的所有弱链关系都可以转化为强链关系； * 环的节点数和强弱链关系个数都一定是偶数； * 环里任意相邻两个节点的真假性互斥； * 环只有两种填数状态； * 任意节点都可以作为整个环的开头。 这第一个说法是废话，因为我们利用的就是这个特征在解释环的删数原理，所以我们就不解释了。不过这里我们可以补充一下。因为环的所有弱链关系均可断开并使用链的删数规则找删数，那么在删数完成后，你再去看这个弱链关系你就会发现，弱链此时会变为强链关系，因为这两个节点不存在其他位置摆放，直接就使得了不同假的状态的成立，这便是第二点“可转化为强链关系”的真正原因。所以，这一句话倒也不完全是废话。 ### 长度和节点数为偶数 这个稍加思索就可以得到。因为强弱链需要交替成环，那么强弱链的关系数量一定是一样多的。既然是一样多的，假定我们有 $$n$$ 个强链关系和弱链关系，那么总数量就是 $$n + n = 2n$$ 个。这肯定是一个偶数。 而在环里，因为不存在独立的节点，所以一个节点引出一个强链关系或一个弱链关系，自然也得是 $$2n$$ 个。所以节点数也是偶数。 ### 相邻节点真假性互斥 从客观角度来说，一个节点的真假性一共就只有两种：真或假。那么对于两个节点而言，就会有四种情况：真和真、真和假、假和真、假和假。 对于强链关系而言，两个节点必须不同假，因此四个组合里排除掉“假和假”这个情况，还剩下三种满足题意。而它俩能同真吗？看起来可以，但实际上不能。因为节点数量是偶数个，所以只有可能真假性交替出现才能导致环的结构稳定。如果某相邻两个强链关系节点是同真的状态，则这个环就没办法顺次成环状态推导了，毕竟，链理论要求我们按填和不填交替推理，自然在环里就不可能存在相邻节点同真的状态。这一点和普通的链还是不一样的。 所以，两个节点只可能一真一假，即互斥的状态。 ### 只有两种填数状态 既然我们知道相邻节点的填数状态必然互斥，那么整个环又要保证真假性交替出现，自然就只有两种填数可能。我们随意选一个节点开始，设它为假，那么真假性交替起来之后，就会得到一个序列： * 假、真、假、真、假、真、……、真 如果我们再设它为真，就会得到完全相反的序列： * 真、假、真、假、真、假、……、假 因为是偶数个节点，所以头尾两个节点真假性必然也是相反的，因为它俩客观来说是在环里是相邻的节点。于是，环就只有这两种填法。 ### 任意节点都可作为环的头 然后是最后一条。这一条稍微麻烦一些。它需要链的双向性来得到证明。 我们先来回顾一下链的双向性。由于链使用的强弱链关系在定义上是方向对称的。所谓方向对称，就是说你正向和逆向都可以使用同一个规则进行推导。比如强链关系，能从 $$A$$ 到 $$B$$ 就一定也能从 $$B$$ 到 $$A$$。正是因为这个原因，再加上链自身强弱关系的摆放也是对称的（强 - 弱 - 强 - 弱 - 强等等），所以链自身也具备可以逆向推理的过程，即正向的链可以进行正常推导，则逆向的也可以推导。 那么，对于环而言，所有同一个真假性的节点一组，就会把节点分为两组。环的推理是不知道从哪里开始的，那么我们不妨就让所有真假性为假的这一组节点作为链头。这样我们按照链的正常方向就可以得到一条完整的环。那么对于真假性设为真的这一组节点呢？我们只需要把环给完全反个向，此时设为真的节点就会变为设为假。 我想你估计可以理解它，但我还是把这句话给解释一下。因为按照链的基本规则，我们必须要以强链起头，所以设为真的这一组是没办法按预设的那个方向推导的（它起步就为真，但链的起步必须是假）。那么反向之后，强链关系毕竟不会受到反向的影响，所以强链关系依旧成立。比如说我们有 $$A$$ 和 $$B$$ 两个节点是强链关系。那么原本我们假设的是 $$A$$ 节点为假和 $$B$$ 节点为真，现在我们反向了之后，$$B$$ 节点就会变为强链的开端，而 $$A$$ 节点此时反而放在了 $$B$$ 的后面。而强链关系是开端的一边设为假的，所以变为 $$B$$ 节点开始时，它理应设为假。这就是我刚才说为啥原本设为真的会变为假的原因。当然，这里你也可以使用逆否命题来理解：$$\lnot A \to B$$ 的逆否命题是 $$\lnot B \to A$$，这个更靠近数学说法一些。 随便你怎么理解吧，反正它的真假性会因为反向后变为假，所以理应所有节点都是有假这个状态的，所以他们都可以作为环的开头而存在。 所以，环是没有逻辑上的“链头”的，任意一个节点都可以开头，只是说它最多会取决于你选取的环的方向罢了。 ## 鱼环（Fishy Cycle） 为了技巧的完整性，这里我们再补充一个技巧。

鱼环

如图所示。这是一个环，不过环内只用了一种数字。我们把这个称为**鱼环**（Fishy Cycle）或者**同数环**（X-Cycle）。还记得鱼吗？鱼这个技巧就只用同一种数字，所以这个环是想说明它跟鱼一样只用一种数字。 我们再来看一个**区块鱼环**（Grouped Fishy Cycle），或者叫**同数区块环**或**区块同数环**（Grouped X-Cycle）。

区块鱼环

如图所示。这个就稍微带了个区块罢了。 ## 双值格环（XY-Cycle） 下面我们再来看一个例子。

双值格环

如图所示。这是一个**双值格环**（XY-Cycle），即双值格链的基础上成环，所有强链均发生在同一个单元格内。 ## 其他问题 ### 英文名里我们应该用 Loop 还是 Cycle？ 可能你看完了整篇内容会发现一个问题。文章开始那里还在用 loop 来表示环，怎么到这里新补充的两个技巧的技巧名怎么用的是 cycle？这到底应该用哪一个单词？ 这个其实说来话长。非要强行概括的话，你可以认为是历史因素。实际上，loop 和 cycle 均可表示环，也都没有问题，甚至还可以用 ring 来表示环。这三个单词在技巧名称上使用均不会造成问题，比如你说 X-Loop 而不是 X-Cycle，也并不会有问题。但是，一般是因为叫某个说法的人多了，所以就约定俗成使用了这个说法。 本来名称这个东西就没有什么对错，你喜欢你叫什么都行。但是，按照学习的角度去看的话，因为更多人叫它 X-Cycle（用 cycle）、XY-Cycle（用 cycle）、Continuous Nice Loop（用 loop），所以我们就采用更多人的叫法。非要说区别的话，你可以认为是不同的人群导致的倾向性。比如三款不同的数独分析软件 HoDoKu、Sudoku Explainer 和 XSudo 里，HoDoKu 用 loop 更多，Sudoku Explainer 用 cycle 更多，而 XSudo 用 ring 更多。 ### 环的尤里卡记法 对于环而言，尤里卡记号并未拥有一个严格的限制，因为强弱链交替的缘故，链尾是可以用弱链连回链头的。 本教程从约定俗成的角度出发，仍然按照链头强链关系起步的逻辑进行描述，直到到最后一个节点时，比正常的链多一个弱链关系表示它连回链头的过程，这样的方式用来区分链和环。例如最开始的例子里，开头是 `(8=7)r1c2`，最后是 `8r1c6-8r1c2`，描述了连回链头 `r1c2(8)` 这个节点。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://sudoku.kazusa.tech/chain-theory/09-loop/01-reasoning-of-loop.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.