# 动态链的基本推理 ## 试数与线性动态链（Whip）

试数

如图所示。这是一个**试数**（Try & Error，简称 T\&E）的路径。所谓试数，就是真正意义上无脑尝试填入一个数，然后根据基础的数独规则（排除和唯一余数技巧）然后直接填出下一个数，这么级联下去；直到发现矛盾（比如说某个格子没有可以填的数之类的矛盾），这样便让我们知道，初始假设是错误的。 对于这个题而言，我们尝试选取 `r2c9(1)` 作为我们的“幸运儿”。假设它为真，则可对 `b1` 造成宫排除得到 `r3c1 = 1`，然后因为 6 的宫排除得到 `r1c3 = 6`，接着是列排除得到 `r5c3 = 8`，然后是宫排除 `r6c2 = 4`，然后由于初始假设可以排除 `r6c9(1)` 的填数，所以还可以得到行排除 `r6c6 = 1`，最终对 `b8` 作宫排除得到 `r7c5 = 1` 这么个路径。 当我们在尝试假设这个路径时，我们会经过 `r1c3 = 6` 和 `r7c5 = 1` 这样两个关键节点。这两个节点会排除 `r78c3` 里的候选数 1 和 6，使得 `r78c3` 只剩下 2 唯一的候选数。显然这两个单元格是无法填入同样的数字的，毕竟他们在同一个宫，因此这样就造成了矛盾。 既然有了矛盾，因此我们也就知道，初始假设是错误的。故 `r2c9 <> 1`。 显然，对于这种赤裸裸地假设和推导矛盾，我们没有任何包装的措施和手段。换言之，这种无脑试 + 推矛盾的逻辑虽然也依赖数独的基础规则，但因为它本身的过程并不优雅，因此试数还是少用为妙。不过，我这里不是打算说这个的。 如果我们把这个技巧包装一番，将其改写为强制链的模式，我们就会有这样的画法：

线性动态链

如图所示。可以看到，我们尝试在推导时会用到图中两处蓝色的位置，而他们初始状态下候选数是存在的；但是他们在推导期间，因为其他一些节点为真的原因，这两处会直接为假。为假不要紧，主要是用到了他们为假的状态。这是我们最初学链的时候所没有遇到的情况：将一些节点中途为真/假的状态加以使用，然后构造出新的强弱链关系。我们就把这种行为称为**动态链**（Dynamic Chain）。而对于试数这个技巧，我们可以包装出来的动态链是直接上手推理的，因此没有所谓的分支状态；而分支全部当场就“夭折”了——比如这两个蓝色的 1，全部是走边上的 1 为真时产生的为假状态。而这个为假的状态并未继续延续下去分支的走向，而是直接结束在这里。 对于这样的动态链模式，我们给他取了个名，叫做**线性动态链**（Whip），即动态链的分支并未延展开来，而总体的链仍旧是一条主线路这么下去的。它的英文名叫做 whip，是鞭子的意思，从形状上讲也确实蛮像的。 我们再来看一个例子。

线性动态链，另一个例子

如图所示。这次也是尝试填一个数，推矛盾。不过这次的矛盾点是删空 `r5c1` 的所有候选数。对应的动态链是右边这一条。所有蓝色的位置都是中间产生的、节点为假的位置。 ## 区块线性动态链（Grouped Whip） 刚刚说完了线性动态链，下面我们来看两个带有区块的线性动态链，即除了只使用排除和唯一余数外，还使用区块作为推导的中间件。

区块线性动态链

如图所示。对于试数角度而言，我们这里需要借助 `r46c8(8)` 区块作为辅助。它的前一步是得到 `r6c9 = 5` 的结论，于是，这个宫里填入 8 的位置就只剩下两处了。但这两处并未告知具体哪一个是正确的，因此只能用区块继续往下推理。我们利用这个区块，往下可以得到 `r9` 上 8 的行排除。注意这里不是宫排除，因为 `r7c7` 处有一个 8 的候选数位置，这里需要借助的是初始假设把 `r9c3` 占位，使得 8 只能在 `r9` 落在 `r9c7` 的这个逻辑。 总之我们可以得到矛盾点是 `c9` 的 4 直接矛盾。要注意 `c9` 虽然有 4 个可以填 4 的位置，但是其中两个会在推导的中间因为填入别的数（8 和 5）占位给去掉，所以实际上仍旧是两处位置重复填写的矛盾。 我们把中途额外利用区块了的线性动态链就称为**区块线性动态链**（Grouped Whip，简称 g-Whip）。 我们再来看一个例子。

区块线性动态链，另一个例子

如图所示。 ## 带有实际分支的动态链 在我们接触了夭折的分支后，我们来看一种实际分支的动态链。

动态链

如图所示。链的写法如下： ``` 1r4c2: =1r6c3-(1=9)r2c3-9r2c6 =(1-9)r6c3=9r6c7-9r1c7=9r3c8-9r3c6 =9r4c6 ``` 先来说一下这是什么意思。先是从 `r4c2(1)` 这个节点设为假，作为链头。然后得到强链关系得到 `r6c3(1)` 为真。此时，因为 `r6c3(1)` 为真会同时造成两种不同的效果 `r2c3(1)` 为假和 `r6c3(9)` 为假，于是借助两个分支分别讨论。其中一个分支能走到 `r2c6(9)` 为假，另一个分支能走到 `r3c6(9)` 为假。因为两个分支的出发点是相同的（`r6c3(1)` 为真），因此这两个效果可以同时达成。于是，`c4` 就只剩下 `r4c6` 可以填 9 了，于是两个节点此时全部指向 `r4c6(9)` 分支汇集到一起，然后结束整个动态链。 像是这种链就是在普通的头尾异数链的基础上增加了分支。 我们再来看一个例子。

动态链，另外一个例子

如图所示。它的写法如下： ``` 3r2c2=3r2c3-3r9c3: =2r9c3-(2=6)r8c2 =4r9c3-(4=6)r3c3 ``` 当走到 `r9c3(3)` 节点为假时，因为还剩下两个走向 `r9c3(2)` 和 `r9c3(4)` 尚不知道具体哪一个节点为真，因此需要带上分支继续延续推理。然后一边走到了 `r3c3(6)` 为真，一边走到了 `r8c2(6)` 为真，这样就得到了两个没有汇入一起的分支，整个链就有了三个端点。 可以发现，这种动态链的结论肯定是要么链头 `r2c2(3)` 为真，要么两个链尾 `r8c2(6)` 和 `r3c3(6)` 的其中至少一个为真，所以总体说起来就是这三个端点里至少有一个为真。因此，删数就是取交集，即本题里的 `r2c2(6)`。 ## 总结 动态链的本质思路是让路径上带有分支，这种分支具有两种不同的情况：**分叉**（Branching）和**汇合**（Merging）。分叉细分的话也是两种情况，强链分叉和弱链分叉。这个具体随着例子里的推导进行到哪一步进行灵活调整即可；而对于汇合来说则略微复杂一些。当需要汇合时，汇合到同一个节点，它的前件分支（汇入到它的所有分支）需要保证是同一个真假性。比如说，两个分支最终都得到了为假，然后汇到同一个节点上时候，这个节点为真。这才是符合逻辑的；反过来说的话就是，这个汇总的节点为真，需要依赖于前面两个分支均为假才行（如果有一个为真就不可能和这里连得起来）。 当然，这种脑子够用的话，这种分支是可以继续进行下去的（我指的是分支上套分支）。但是，这显然难度偏高，我也没有合适的例子提供讲解，所以就不讲了。 下一节我们继续探讨动态链的分析。 --- # Agent Instructions: Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter: ``` GET https://sudoku.kazusa.tech/chain-theory/11-dynamic-chain/01-reasoning-of-dynamic-chain.md?ask= ``` The question should be specific, self-contained, and written in natural language. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.