牺牲的基本推理

Reasoning of Sacrifice

先来看一个例子

如图所示。我们发现，如果我们忽略 r1c2(5) 的话，此时会有这样一个连续环的结构。

这个结构看起来没什么问题。假设要用于删数呢？删数肯定是所有弱链上都可以删，我们可以找到比如 r2c58(5)、r9c3(5)、r9c7(3) 这些位置可以作为删数。前一节末尾我们把它称为预备删数，因为它没有实际的删数效果，仅仅是当这个连续环成立时才可以用于删数。

那么我们来看毛刺为真的情况。很遗憾的是，此时我们没办法找到毛刺为真而绽放的视角，即毛刺为真时推得某预备删数为真的状态。这可有些棘手了。我们不想放弃它，毕竟这个环看起来确实不错。

那么怎么办呢？没关系，我们还是继续我们的强制链分支的搜索。

如图所示。请将此图和上面的图进行对比理解。对比什么呢？删数位置。

前面那个图里，我们知道，毛刺连续环的预备删数包含 r2c58(5) 两处；而对于这个图里，一个是作为实际删数（的涂色），一个则作为的是……等会儿？c8 强链关系是什么情况？怎么绕过了 r2c8(5)？

是的，当毛刺为真时，我们可以忽略一部分预备删数。具体忽略哪一部分呢？请将所有毛刺连续环里可用的预备删数均列举出来。我们需要瞄准其中一个位置，将其锁定作为实际的删数（因为毛刺为假时本身就可以删，所以我们这里只讨论毛刺为真时是否可以删它即可）；而其他不作为删数的预备删数，我们均可视为不存在。这句话非常奇怪。我们稍后讲解这句话运作的本质原理。你先这么用就行。

我们忽略掉 r2c8(5) 后，c8 就会有强链关系，于是把剩下的 5 直接串起来形成强链关系即可。这样我们可以跟随这个强制链分支，直接得到 r2c7(5) 为真的结论。

因为 r2c7(5) 为真，所以此时可以排除掉 r2c5(5) 这个候选数。而它本身就是预备删数（换言之，是毛刺连续环在毛刺为假时本身就可以删除的数），所以综合来看，这个数均可删除，所以，我们可以认为，这个删数结论是成立的。故本题的结论是 r2c5 <> 5。

奇妙吧？我们将毛刺无法得到绽放效果时，将预备删数分为两组，一组作为实际删数（瞄准他们去删数），另一组直接忽略它的存在（跳过他们）、直接延伸强链关系的行为称为牺牲（Sacrifice），这种观察视角就被称为牺牲视角。

为什么牺牲是正确的逻辑？

我知道你肯定理解不了它。这是这个思路理解起来最为困难的一点。我们仅去记结论也可以帮助我们找到很多可用结论；但是，我还是想跟各位讲解一下它的原理。不过，要想证明正确性，确实是一件困难的事情。我不强求各位能够真正理解这个的原理，因为它实在是过于复杂。但是，它可以给你带来非常有趣的证明思路。

逻辑学的蕴含式

有一门学科叫逻辑学。在逻辑学这门学科里，我们会接触到诸如且、或、非的处理规则，将两个命题的真假性结合起来的推理过程，整合起来判别它整体的结果的真假性的东西。简要概括的话，这门学科是专门研究逻辑的真假性的。

在这门学科里，我们把推出的行为称为蕴含（Entailment，或 Logical Consequence），记作 $P \to Q$ ，其中的 $P$ 和 $Q$ 是两个命题（可用来判断对错的说辞）。

蕴含式也是可以判断真假性的。这一点非常诡异。它其实和我们日常生活中“如果……则……”的说辞非常像，但你非要说这句话到底是对还是错，确实不太好理解。不过你可以这么去想。我们期望这句话成立，自然就不能把“则……”的这一部分给反过来。

简单举个例子。如果我考到驾照了，我就带朋友去兜风。从客观层面来说，“考到驾照”是一个事情，“带朋友兜风”又是另外一个事情。看起来这两件事本身没有什么关系，所以我们可以穷举出四种组合情况，即对于这两个事情本身的既定发生还是没有发生排列出来四种情况：

都成立：考到驾照、带朋友兜风；（成立）
前面成立：考到驾照，不带朋友兜风；（显然违背了初衷）
后面成立：没考到驾照，带朋友兜风；（不知道）
都不成立：没考到驾照，也不带朋友兜风。（不知道）

显然，考到驾照必须带朋友兜风是这句话满足的条件，而没有考到驾照的话，带不带朋友兜风就成了问题。因为句子之中并未说到没考到驾照会如何去做这个事情（语句只说了考到了之后该干嘛）。虽然看起来，没有驾照似乎就不能去兜风了，毕竟自己开不了车，但是去兜风我也没说能不能出去（不考驾照也可以出去兜风，请个代驾就行，带朋友兜风是我作为发起人，但不代表我非得以司机这个身份带朋友兜风），毕竟它是另一个平行世界里才会发生的事情，具体是否发生我们并不知晓。

在蕴含式里，我们把前半截为真、后半截为假的部分作为肯定不成立的情况（考到驾照，但是不去兜风）；而其他三种均认为是最终成立的，所以相当于是三种情况“或”起来。拿逻辑学的表达的话，假设 $P$ 表示考到驾照（前半截），而 $Q$ 表示去兜风（后半截），那么写起来就是这样的：

P \to Q \equiv (P \land Q) \lor (\lnot P \land Q) \lor (\lnot P \land \lnot Q)

逻辑学使用 $\equiv$ 来表示等价，而不是等号。但是你可以当成等号去理解。符号 $\land$ 表示“且”， $\lor$ 表示“或”，而 $\lnot$ 则表示“非”（也就是对原来的说辞的对错取个反）。

两层蕴含式

需要理解牺牲，我们需要将蕴含式的逻辑升一级，变为两层的蕴含式。

我们要证明的是，如果某预备删数 $a$ 为假（命题 $A$ ）能得到另外的预备删数 $b$ 为假（命题 $B$ ），则预备删数 $b$ 一定为假（命题 $C$ ）。这里请注意，这句话是在说毛刺为真的这个情况。毛刺为假时我们并不需要讨论，因为它本质就是一个连续环了，所以它的删数显而易见是成立的，为了确保删数可以最终成立，我们仅需要保证毛刺为真时也可以删除就行。

那么，这句话用蕴含式表达出来是这样的：

(A \to B) \to C

这个确实有些绕。我们要得到命题 $C$ 必须成立，就得要求前提 $A \to B$ 这一截整体的真假性是为真的（这个蕴含式必须是符合条件的状态）。

我们穷举一下四种关于命题 $A$ 和 $B$ 可以出现的情况：

都成立：预备删数 $a$ 为假、预备删数 $b$ 为假；
前面成立：预备删数 $a$ 为假、预备删数 $b$ 为真；
后面成立：预备删数 $a$ 为真、预备删数 $b$ 为假；
都不成立：预备删数 $a$ 为真、预备删数 $b$ 为真。

刚才我们说到，蕴含式有三种可能成立的状态，即加粗的这三组。但是最后一种虽然在蕴含式里可以成立，但实际上并不可能。为什么呢？

还记得前一节内容的伏笔吗？预备删数互相是不可同为真的。也就是说，两个都是预备删数的情况下，根本就不可能出现第四种（都不成立的这种）情况。所以还剩下俩。

但是仔细观察一下。剩下的这两种情况，预备删数 $b$ 始终是为假的。也就是说，我们要满足 $A \to B$ 的一共有两种情况（第 1、3 种），而此时预备删数 $b$ 客观为假的缘故，所以完全可以得到 $C$ 结论成立，而根本就无需担心预备删数 $a$ 此时此刻的状态是真还是假。

哪一个是 $a$ 呢？r2c8(5) 这个节点。所以，它的真假性并不影响最终结论的形成。或者倒过来说的话，结论如果能形成，那么这个节点是真还是假都无所谓。这便是为什么我们可以跳过它的本质原因：因为它为假和为真都能删，所以完全可以忽略它的存在。

补充说明

我相信你如果看完这一点，假设你看明白了，可能你还会存在一些别的问题。比如说，这个题里，r2c8(5) 和 r2c5(5) 不是在同一行么，犯得着这么证明吗？

并不是说这个证明仅仅是针对于这一个题的。之后我们会看到一些题目，牺牲视角会越来越复杂，并不是所有时候，预备删数互相都可以看得见。所以证明是通用的。

总之，这个证明使得我们可以忽略预备删数的存在。当我们发现一个预备删数可能会有结论时，我们不妨瞄准它，把其他的全部忽略（或者忽略必要的一些），然后形成一些特殊强链关系，最终往结论上靠，这是牺牲视角的核心用法。

最后更新于3天前