> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://sudoku.kazusa.tech/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://sudoku.kazusa.tech/rank-theory/03-triplet/04-examples-using-link-triplet.md). # 弱三元组的例子 ## 例子 1：胖姨环（Fat Ring）

胖姨环

如图所示。这个题别看有三个弱三元组，但分析起来其实相对比较容易，所以放在第一个例子介绍。 这个题有 6 个强区域和 8 个弱区域，但是有三个弱三元组分别位于 `r6c15` 和 `r9c5`。很显然，直接上手讨论是不太有效的，所以我们得想点套路来解决它。 我们不妨单独提出数字 1 来看看它实际能填几次。我们强行只看 1，别的数我们一个都不关心，那么这个结构里 1 脱离出来之后，我们按 `r6c5` 来讨论 1 的可填状态。 如果 `r6c5 = 1`，则 `r6c1` 和 `r9c5` 都不能填 1，此时弱三元组只有 `r6c5` 一处占位；而剩下两端弱三元组都不占位，所以 1 借用 `1b7` 的强区域，由于它必须出一个数字 1，所以 `r6c5 = 1` 时，一共会填两次 1。 如果 `r6c5 <> 1`，则我们也无法确保 1 是否能填入 `r6c1` 和 `r9c5`，因为 `r6c5` 引出的两端是弱区域而非强区域。但是，因为 `1b7` 的强区域告诉我们，1 只能要么填在 `r7c1` 上，要么填在 `r9c23` 上，所以不论哪个情况成立，剩下的两个弱三元组总有一个会被占位（如 `r7c1` 填，则 `r9c5` 占位；如果 `r9c23` 填，则 `r6c1` 填）。所以算上 `1b7` 强区域填一次 1，所以这个结构此时仍然一共填了两次 1。 所以，不论 `r6c5` 的数字 1 是否占位，整体 1 只会填两次。其他数字均为普通的覆盖规则，所以鉴于 `1b7` 会有一个数字 1 的出现，所以 `r6c15` 和 `r9c5` 只能拿一个位置（也必须拿一个位置）填 1。 这样算起来，2、3、5、9 还在结构之中，刚好还剩下四个位置，所以直接按照不违背数独规则的模式摆放，2、3、5、9 就可以放满所有的单元格，并满足所有剩余四个单元格的强区域。换言之，例子里五个构成十字形的单元格强区域其中四个是 2、3、5、9 各一个，剩下一个填 1，然后 `1b7` 里填一个 1，就填满了 6 个位置。 那么删数怎么看呢？显然生效的是 2、3、5、9，因为他们必须填，而 1 确实不确定：你不知道最终 1 填在 `r6c15` 和 `r9c5` 的哪一个位置上。因此，这个题的删数只有 2、3、5、9 对应行列上的弱区域可以用于删数。 我们把图中这种十字形单元格外加强区域的结构（技巧）称为**胖姨环**（Fat Ring）。这个技巧的理念也是由探长提出，不过早期这个结构并非使用秩理论进行分析，是暴力分析的，所以并不体系；考虑到体系化的这一点，我们也是放在了这里才讲它。 > 这个题虽然有 8 个弱区域，但实际上就能填 6 个数字进去，也是很特殊。不过，胖姨环一般都具有这种效果。 胖姨环的本质就是这种特殊的多个同数字的弱三元组，通过独立出结构，就可以算出它实际的填充次数其实是比看起来弱区域数量要少的。另外，胖姨环是走 XYZ 环拓展得来的，不过这一点看起来很明显，所以我就不解释为什么了。 我们再来看一个例子。

另外一个胖姨环

如图所示。这个题有 6 和 9 两种数字出现此弱三元组的规则。 和前面讨论的方式完全一样，我们把 6 和 9 分别单独提出，只看他们自己内部的填充状态。 可以发现，此时提出之后，6 和 9 都只能填两次。然后数一下这个题的强区域数量。这个题有 4 个单元格强区域和两个宫强区域，一共要填 6 个数。我们要填的 6 和 9 都只能各自填俩（这就 4 个了），所以剩下的 3 和 7 刚好在 `r368c6` 里找到合适的位置填进去就可以足够放满 6 个位置。 所以这个题的删数就是 `37c6` 这俩弱区域可以用于删数了；因为 6 和 9 比较特殊，我们无法确定最终 6 和 9 的位置，所以也就无法确定删数。 请记住这两个例子。这两个例子用到的推演方式，和强三元组里出现烟花数组的那个推演过程都是教程的伏笔。 ## 例子 2：复杂鱼

复杂鱼

如图所示。这个题里有一个强三元组 `r5c1` 和两个弱三元组 `r4c9` 和 `r5c8`，整体共有 5 个强区域和 5 个弱区域。`r4c7` 前一节的内容已经说过，它被两个弱区域覆盖，但没有被强区域覆盖，因此我们可以用上帝视角，它既然是以删数的形式存在，那么原来的结构就没有包含它，故你可以不去管他；你可以把他当成是原本结构成立之后，他才会显现的存在。 回到这里。我们直接讨论强三元组占位。如果 `r5c1` 确实填 4，那么 `4r5` 显然可以用作删数。但是请注意，此时虽然 `r5c8` 也在其中，但它是强区域的一部分，所以不能直接用作删数；讨论它删数的成立与否是需要稍后继续细致分析的。 如果 `r5c1` 不填 4，则这个结构的强区域则不存在重叠填一次满足两个位置的情况，所以强区域实打实会让结构填 5 个数进去。而安排的时候，因为强区域每一个要出一个位置填，本着避免违背数独规则的约定，所以我们必须为 4 都安排上合理的位置。 显然，当 `r5c1` 不填 4 时，此时 `b6` 比较特殊。当强三元组不填入的时候，此时结构只会存在弱三元组。我们这个时候用一个稍微数学一点的思维去思考。因为结构的最终的秩的结果肯定是基于强弱区域数算出来的。但是因为这个结构存在强三元组和弱三元组，所以他的结构最终填入的次数压根就不确定，强弱三元组的使用情况也就无法被确定，于是不能直接算秩。不过，弱三元组一旦占位，他有个负面效果是，弱区域会直接少 2 个单位，但强区域只会少一个单位，于是余下的结构的弱区域数量肯定会比强区域数量还要少（因为原本的强弱区域数量就是一样的，而且此时我们还基于的是结构强三元组不占位的情况）；而没有强三元组的占位就永远不可能准确摆放所有的强区域的填数排列。为什么呢？因为数量超了，比如 3 个弱区域和 4 个强区域，意味着你要填 4 个数进去；但弱区域就 3 个又会强制你最多只能填仨，这不显然就矛盾了么——肯定有一个数根本就填不进去，一填就冲突。 所以呢？所以这个结构就无需考虑后面的情况了，即讨论 `r4c9` 和 `r5c8` 占位的情况——他们均在占位时直接矛盾（余下结构弱区域数比强区域数还要少）。可能你会问我，这个例子 `r5c8(4)` 不是能被删么，为啥同为弱三元组的 `r4c9(4)` 没被删呢？你先别急，`r5c8(4)` 删数是因为它如果占位会直接造成强三元组无法填入，而另一个弱三元组 `r4c9` 也会消失；余下结构弱区域数量显然比强区域数少，而且还没办法用三元组讨论（因为余下结构就没三元组什么事了），所以直接矛盾。但是，`r4c9(4)` 确实不能删——因为它看不见强三元组 `r5c1`。还记得刚才的讨论吗？刚才我们讨论强三元组在不占位的时候，才有的 `r4c9` 占位即死的矛盾，大前提是 `r5c1` 不占位。换言之，如果 `r4c9(4)` 填进去的话，它是可以不矛盾的。那么啥时候不矛盾呢？`r5c1 = 4` 的时候。是的，这里确实很复杂，一定要抓准逻辑思维的那条主线不要松开，不然就会容易迷失在讨论情况的分叉又分叉的迷宫之中。 最后是 `r5c56(4)`。当前面两个删数成立之后，`4b6` 就不存在弱三元组的特征了，因为出现影响的地方都被我们干掉了，所以直接讨论。`r5c1` 占位填 4 直接删掉；如果不占位后，结构全部位置均为标准覆盖规则，所以秩为零，直接按零秩结构删数即可。所以，`r5c56 <> 4` 是能够被覆盖到的删数。 所以这个题一共有两种不同的删数原因：一个是弱三元组占位导致秩为零，一种是根据强三元组占位分析零秩状态来得到删数。 ## 例子 3：有点复杂的结构

有点复杂的结构

如图所示。这个题有 7 个强区域和 8 个弱区域。其中 `r4c5(3)` 是本题里唯一一个弱三元组。 由于 7 个单元格只能填 7 个数， 我们试着讨论弱三元组的占位来看看有什么结论。 如果 `r4c5` 填 3 占位，那么此时弱区域数量少两个，强区域数量少一个，此时结构剩余的部件刚好强弱区域数量一样，也都只是普通的覆盖规则，所以可按零秩结构的删数逻辑进行删数。 但是，如果 `r4c5` 不填 3，看起来强弱区域数量都没有发生变化。但是，别忘了单元格自己是一个强区域。`r4c5` 是强区域，但如果它不填 3，那么它就只能填 9。此时，9 也可以用作删数。 总之就是，要么零秩删数可以删 `9r4`，要么直接通过强区域得到 `r4c5 = 9` 也可以删数。所以这个题的结论是 `r4c346 <> 9`。 至此，我们就把三元组的内容介绍完了。之后我们会带着大家进入到秩理论的综合运用的板块里，例子都比较简单，所以学起来肯定会很轻松。