> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://sudoku.kazusa.tech/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://sudoku.kazusa.tech/rank-theory/06-multisector-locked-set/02-reasoning-of-multisector-locked-set.md). # 网的基本推理 Reasoning of Multisector Locked Set 前文的内容我相信已经给各位阐述了一个比较清晰的推理过程。下面我们正式进入这个板块的内容的学习。 ## 一个看着就很唬人的题在中国的数独论坛里老是流传着这么一道数独题，据说是由芬兰的一位数学家自己研制的数独题目，它具有唯一解，但却无法采用合适的技巧进行解题。

如图所示。这道题被过度抬高，甚至被广泛称为“最难数独题”，一度吓死不少孩子。我们要对题目有一个正确的认知，数独技巧确实并非是万能的，对于越大的结构确实越难以出现；但这个题的存在其实是反倒打破了这一点。这道题会用到一个非常大的结构，比前一节的多米诺环 16 个单元格还要大，但它却是零秩结构。

如图所示。本题要用到 `r12678c2567` 这 20 个单元格。它巧妙就巧妙在这 20 个单元格刚好是矩形的分布，因此非常便于分析。在前一节的内容里，我们有一个对结构的认知，大概是将结构的涉及的数字进行归纳和分组，让每一个数都发挥出作用，且都用于一个固定的行、列、宫。比如之前的分段融合待定数组里，我们经常会用到同宫里的两个数，它最终会在宫里形成数对结构，只是位置不定。这个题也是如此，不过这个题交织的情况则更为繁琐。这个题里数字的分布应该这么去看： * 按行 * `136r1` * `18r2` * `68r6` * `3r7` * `36r8` * 按列 * `24c2` * `257c5` * `249c6` * `59c7` 可以数数看，这么分配的话，所有的数字全部可以派上用场。按照秩理论的看法就是，强区域一共有 20 个（全是单元格）；弱区域也有 20 个（10 个行上的弱区域，10 个列上的弱区域）。因为本题所有数字均只会被一个强区域和一个弱区域所覆盖，所以均为精确覆盖，故这个结构可以按秩的公式计算得到为 0 的结果。所以这个结构整体是零秩的。因为是零秩的，所以所有弱区域均可用于删数。对于此题而言，所有 20 个弱区域均可用于删数，于是就可以得到图上的这些位置。我们把这个纯单元格当强区域，而相关连接用弱区域关联起来构成的零秩结构称为**网**（Multisector Locked Set，简称 MSLS）。这种结构在朴素情况下是矩形形态，比如这个题里的是一个 5 行 4 列的矩形。 ## 例子 1：缺了单元格的网我们再来看一个例子。

如图所示。这个题只用了 19 个单元格。原本正常的网结构由于 `r1c1` 被提示数占位导致不能再用了。所以这个网结构缺了一个单元格。不过也没问题，因为它仍然符合网结构的定义规则和特征：单元格为强区域，行列宫用弱区域关联所有数字，且零秩仍然成立。这次就不带着大家数了。 ## 例子 2：补了单元格的网我们再来看一个需要补单元格才能构成网的结构。

如图所示。这个题用了 21 个单元格，而弱区域呢？也是 21 个，所以是零秩的。所以图中所有弱区域都可以用作删数。这个题必须算上 `r5c5` 不是没原因的。如果我们不计算在内，则 20 个单元格必须使用最少 21 个弱区域才能精确覆盖，即使 `r5c5` 不纳入也是如此。此时结构不是零秩，也就无法用于删数；当纳入 `r5c5` 之后，因为它自身只有 4、6、8 三种候选数，也恰好是所在列上的弱区域所用数字，所以恰好可以纳入计算之中，在不破坏结构的情况下使得结构称为零秩结构。哦我们把这种差一点形成网（但还没有构成零秩的结构）通过补充和删掉单元格、篡改弱关系的走向等使其变为零秩的网结构的过程称为对网结构的**修正**（Fix）。顺带一提，我们趁着这个例子继续介绍一下宫内的弱区域效果。前文给的例子稍微都比较正常，因为都用不上宫的弱区域类型。下面我们来看使用了宫作为弱区域的变体。

如图所示。我们将 `9r46` 的两个弱区域改成 `9b46`。这样数字 9 的覆盖情况并未发生变动（仍然是精确覆盖）的同时，弱区域数量也不会变，所以这种改的方式是可以的。不过这么改了一下之后，弱区域因为不同了，所以删数就不一样了。此时 `b46` 里别处的 9 就可以用于删数了；相反，因为 9 不再是行上的弱区域，所以行上的弱区域在这个情况下就不能删除了。我们再来看一个例子。 ## 例子 3：带宫弱区域的网

如图所示。这个例子就自己看了。 ## 例子 4：带自噬的网可以从前面的例子看出，网结构是可以切换弱区域的类型来达成不同区域的删数的。从秩理论的角度来说，使用不同的弱区域视角去看同样几个数字的分配情况，其实是在构造弱三元组。对于某个或某些候选数而言，构造所谓弱三元组会造成一些特殊用途，例如区块的形成，进而产生特殊删数。下面这个例子就阐述了这一点。

如图所示。这个例子用到了 24 个单元格，是个零秩结构，所以基础删数就不解释了。这里要说的是删数 `r6c47(6)`。这两个数是怎么删的呢？这其实是跟 `r6c1(6)` 有关。可以看到，我们把它涂色染成了列上的弱区域的配色，也就意味着它是算列上的弱区域的。但是实际上，这个 6 在结构里的同一列上（`r3689c1` 里）也就只出现了一次。反倒是行上 6 出现的频次会多一些。但是按照取数的分配规则，按行去算 6 的位置的话，秩可能就不为 0 了，因为 `r4(6)` 还缺少分配；如果分配了 `r4(6)` 分配了，`c47(6)` 又会变得困难，因为横竖都要取全部的 6，这样还会造成强三元组的情况出现，带来不必要的讨论。那么我们直接干脆一点，只有 1 个数字 6 也不是不行。那么我们想一想，如果此时 6 按列上看可以，按行上却不行的话，那还有一个情况，就是把它视为宫的弱区域，即 `6c1` 看成 `6b4`，反正 `b4` 也别的位置有 6，也不会因为你选择了宫导致影响到别的候选数的分配。好的。那么这个 6 既可以视为列上的弱区域，又可以视为宫内的弱区域，此时这个 6 处于弱三元组上。我们不妨讨论它的占位情况。如果 `r6c1` 占位填 6，则结构少一个强区域 `6n1`，但弱区域会少两个，即这里的 `6c1` 和 `6b4`。原本 6 在弱区域上被算两次，所以弱区域数本身就比强区域数要多一个；但此时强区域数少 1 个，弱区域数少 2 个，两者数量一样了。而其余位置则不存在这种强弱三元组（即都是精确覆盖），故此时结构可按秩公式求得为零秩结构。如果 `r6c1` 不占位填 6，则可以视为这个单元格不存在候选数 6，而其他数本身就是精确覆盖的。现在弱区域数量会比原来强区域数量少一个。 > 因为弱区域数量少了 `6c1` 和 `6b4`，但此时不占位并不意味着 `6n1` 缺少，这个强区域仍然存在，所以强区域数不变，弱区域数少 2。按数量来算，原来强区域数比弱区域数少 1 个，现在弱区域数直接减去了 2，所以反倒弱区域数比强区域数还少 1 个了。因为结构为精确覆盖，所以按秩的规则参与计算可得结果为 -1。因为秩小于 0，所以结构变为不合法。这么看起来，`r6c1` 还非得必须填 6 才行了。是的，所以这个结构有个自噬的结论，即 `r6c1(6)` 这个候选数其实是为真的。不过本题是按删数来涂色的，并不是不知道 `r6c1 = 6` 结论是成立的，而是因为它的本质是利用它同处于两个弱区域的交集上（弱三元组）。而弱三元组在此时发挥的作用并非必须是单一的候选数。只有这种单一候选数作为弱区域时肯定是可以出数的，但如果是两个位置呢？这种其实是看成区块的，所以从本质来看是不能直接出数的。下面我们来看一个这样的例子。 ## 例子 5：带宫弱区域且有自噬的网

如图所示。虽然看着复杂，但是这个例子反倒比前面那个例子要好理解一些。基础删数就不说了。直接来看 `r1c89(3)` 的自噬原理。这个地方，`r3c89(38)` 是比较自由的。你可以选择将这俩看成行上的弱区域，这样结构就能直接成立，因为秩是 0。但是，不难发现的是，如果我们将 `r3c89(38)` 都视为宫弱区域的话，情况就不一样了。不难发现，本题如果 `r3c89(38)` 里任意一个候选数是弱三元组的话，结构都会有 19 个弱区域、18 个强区域。此时推理将会直接照着前面那个例子的删数规则走——讨论弱三元组的占位状态可得其中一种占位情况直接会造成秩为 -1 的矛盾状态，所以这里 `r3c89(38)` 四个数都是弱三元组，但他们是分开看的，并不是叠在一起的；换言之，你只能看成是 4 个不完全相同的 19 个弱区域、18 个强区域的结构，而不能看成是 1 个 22 个弱区域、18 个强区域的结构。下一节我们将继续带着大家看一些其他的例子。