网的基本推理

前文的内容我相信已经给各位阐述了一个比较清晰的推理过程。下面我们正式进入这个板块的内容的学习。

一个看着就很唬人的题

在中国的数独论坛里老是流传着这么一道数独题，据说是由芬兰的一位数学家自己研制的数独题目，它具有唯一解，但却无法采用合适的技巧进行解题。

如图所示。这道题被过度抬高，甚至被广泛称为“最难数独题”，一度吓死不少孩子。我们要对题目有一个正确的认知，数独技巧确实并非是万能的，对于越大的结构确实越难以出现；但这个题的存在其实是反倒打破了这一点。这道题会用到一个非常大的结构，比前一节的多米诺环 16 个单元格还要大，但它却是零秩结构。

如图所示。本题要用到 r12678c2567 这 20 个单元格。它巧妙就巧妙在这 20 个单元格刚好是矩形的分布，因此非常便于分析。

在前一节的内容里，我们有一个对结构的认知，大概是将结构的涉及的数字进行归纳和分组，让每一个数都发挥出作用，且都用于一个固定的行、列、宫。比如之前的分段融合待定数组里，我们经常会用到同宫里的两个数，它最终会在宫里形成数对结构，只是位置不定。这个题也是如此，不过这个题交织的情况则更为繁琐。这个题里数字的分布应该这么去看：

• 按行

  • 136r1

  • 18r2

  • 68r6

  • 3r7

  • 36r8

• 按列

  • 24c2

  • 257c5

  • 249c6

  • 59c7

可以数数看，这么分配的话，所有的数字全部可以派上用场。按照秩理论的看法就是，强区域一共有 20 个（全是单元格）；弱区域也有 20 个（10 个行上的弱区域，10 个列上的弱区域）。因为本题所有数字均只会被一个强区域和一个弱区域所覆盖，所以均为精确覆盖，故这个结构可以按秩的公式计算得到为 0 的结果。所以这个结构整体是零秩的。

因为是零秩的，所以所有弱区域均可用于删数。对于此题而言，所有 20 个弱区域均可用于删数，于是就可以得到图上的这些位置。

我们把这个纯单元格当强区域，而相关连接用弱区域关联起来构成的零秩结构称为网（Multisector Locked Set，简称 MSLS）。这种结构在朴素情况下是矩形形态，比如这个题里的是一个 5 行 4 列的矩形。

例子 1：缺了单元格的网

我们再来看一个例子。

如图所示。这个题只用了 19 个单元格。原本正常的网结构由于 r1c1 被提示数占位导致不能再用了。所以这个网结构缺了一个单元格。不过也没问题，因为它仍然符合网结构的定义规则和特征：单元格为强区域，行列宫用弱区域关联所有数字，且零秩仍然成立。这次就不带着大家数了。

例子 2：补了单元格的网

我们再来看一个需要补单元格才能构成网的结构。

如图所示。这个题用了 21 个单元格，而弱区域呢？也是 21 个，所以是零秩的。所以图中所有弱区域都可以用作删数。这个题必须算上 r5c5 不是没原因的。如果我们不计算在内，则 20 个单元格必须使用最少 21 个弱区域才能精确覆盖，即使 r5c5 不纳入也是如此。此时结构不是零秩，也就无法用于删数；当纳入 r5c5 之后，因为它自身只有 4、6、8 三种候选数，也恰好是所在列上的弱区域所用数字，所以恰好可以纳入计算之中，在不破坏结构的情况下使得结构称为零秩结构。哦我们把这种差一点形成网（但还没有构成零秩的结构）通过补充和删掉单元格、篡改弱关系的走向等使其变为零秩的网结构的过程称为对网结构的修正（Fix）。

顺带一提，我们趁着这个例子继续介绍一下宫内的弱区域效果。前文给的例子稍微都比较正常，因为都用不上宫的弱区域类型。下面我们来看使用了宫作为弱区域的变体。

如图所示。我们将 9r46 的两个弱区域改成 9b46。这样数字 9 的覆盖情况并未发生变动（仍然是精确覆盖）的同时，弱区域数量也不会变，所以这种改的方式是可以的。

不过这么改了一下之后，弱区域因为不同了，所以删数就不一样了。此时 b46 里别处的 9 就可以用于删数了；相反，因为 9 不再是行上的弱区域，所以行上的弱区域在这个情况下就不能删除了。

我们再来看一个例子。

例子 3：带宫弱区域的网

如图所示。这个例子就自己看了。