> For the complete documentation index, see [llms.txt](https://sudoku.kazusa.tech/llms.txt). Markdown versions of documentation pages are available by appending `.md` to page URLs; this page is available as [Markdown](https://sudoku.kazusa.tech/construction/07-external-loop/02-external-loop-example.md). # 外部环的例子下面我们来看一些例子。 ## 例子 1：外部双 RCC 的 ALS-XZ 环

如图所示。这个环特殊传递的地方发生在 `8r7c1=7r5c89`。我们来看这是怎么来的。这个强链关系要证明其同假后矛盾，我们需要借助双 RCC 的 ALS-XZ 结构。如图所示：

如图所示。如果我们假设 `r7c1(8)` 和 `r5c89(7)` 同假，会发生什么？首先，如果同假，则这个双 RCC 的 ALS-XZ 会成立（尤其是 `r7c1(8)` 没了才会促成 `5r7c5=7r7c7` 的形成）。成立之后，`r456c7(7)` 会被该结构所删除。但是，我们还假设了 `r5c89(7)` 为假，这样就会造成一个问题：`b6` 没填 7 的合适位置了。这就形成了矛盾。所以，外部环看起来是成立的。那么删数呢？我们捋一下双 RCC 的 ALS-XZ 在本外部环里体现的作用。我们利用结构传递的这一截，传递过程是这样的： ``` r7c1(8) 假 => 双 RCC 的 ALS-XZ 真 => r456c7(7) 假 => r5c89(7) 真 => ... ``` 其中，`b6` 里数字 7 是每个数字都在使用。先从 RCC 造成删数后，然后又快速得到 `r5c89(7)` 必须为真以保证 `b6` 必须填 7。因此，这个环的删数包含两部分： 1. 原环结构里的所有弱链关系造成的删数结论； 2. 双 RCC 的 ALS-XZ 结构造成的、非 `r46c7(7)` 的所有其余删数结论。你问我为什么是除开 `r46c7(7)` 的其余候选数，而不是除开 `r456c7(7)` 的其余候选数？因为 `r5c7(7)` 是原环结构成立后直接就有的删数，它是含在其中的，但 `r46c7(7)` 不同，这俩原环里删不了（弱链关系没一个可以删它）；而这俩恰好给 `b6` 里填 7 提供了传递的依据。所以它俩特殊一些，删不掉。因此，整个环的删数如下：

## 例子 2：外部待定数组环

如图所示。这个例子里我们可以看到奇怪的强链关系是 `5r9c9=4r2c5`。它怎么来的呢？

如图所示。证明此强链关系，需要依赖同假后的推导过程。这次稍微长一些，需要引出动态链分支进行小幅度传递。如果 `r9c9(5)` 和 `r2c5(4)` 同假，则 `r9c9` 只能填 9。走两个分支分别得到 `r1c5 = 9` 和 `r9c4 = 4` 的结论。可通过排除可得，`r23c4 <> 4` 和 `r2c4 <> 9` 的结论。这样一来，单元格 `r1c6`、`r2c456` 和 `r3c46` 只剩下 1、2、3、6、8 五种不同的数字。显然，6 个单元格是无法只放入 5 个不同数字的，所以这就矛盾了。要注意的是，`r2c5` 此时也没 4 了，因为证明强链关系成立的时候已经假设它为假了。好了。那么我们知道这个外部环成立之后，它的删数如何呢？

如图所示。我们分析传递过程： ``` r9c9(5) 假 => r9c9(9) 真 => r1c9(9) 假 => r1c5(9) 真 => r9c4(9) 假 => r9c4(4) 真 => 待定数组 {r1c6, r2c456, r3c46}(1234689) 假 => r2c5(4) 真 => ... ``` 可这么看还是不好理解。那么我们不妨就逆向看。我们之前说过环是可以反过来看的，所以我们把逻辑倒过来。 ``` r2c5(4) 假 => 待定数组 {r1c6, r2c456, r3c46}(1234689) 真 => r1c5(9) 假 => r1c9(9) 真 => r9c4(4) 假 => r9c4(9) 真 => r9c9(9) 假 => r9c9(5) 真 ``` 这样是不是就很容易知道了？因为待定数组直接为真之后可以引发一系列的删数，然后走了两个动态分支才汇入 `r9c9` 上。所以，这个环是个动态半环，删数只有待定数组引发的删数和非 9 的两侧分支的部分，其他弱链关系均可用于删数。 ## 例子 3：外部融合待定数组环

如图所示。这个环要证明的强链关系是 `4r5c5=2r7c5`。

如图所示。证明的方式是用的融合待定数组。如果两者同假，则 `r256c5`、`r3c56` 构成的融合待定数组将成立，于是 5 和 7 可以用于删数删掉 `r7c5(57)`，致使 `r7c5` 没有候选数可填。所以，捋一遍推理过程： ``` r5c5(4) 假 => 融合待定数组 {r256c5, r3c56}(14579) 真 => r7c5(57) 假 => r7c5(2) 真 => ... ``` 所以呢？所以就是融合待定数组也可以纳入环的删数，本题的删数如下：

如图所示。 ## 例子 4：外部摩天楼环

如图所示。证明强链关系 `6r3c4=1r1c9` 的方式如下：

如图所示。这次我们用点不一样的技巧结构。如果 `r3c4(6)` 假的话，则 `r39` 两行的摩天楼成立，于是摩天楼可删除 `r12c8(6)` 两处。结合 `r1c9(1)` 为假，于是待定数组 `{r1c89, r2c8, r3c9}(15678)` 四个单元格只剩下三种数字 5、7、8 造成矛盾。传递过程如下： ``` r3c4(6) 假 => 摩天楼 {r3c27, r9c28}(6) 真 => r12c8(6) 假 => r1c9(1) 真 => ... ``` 结论自然就是涵盖了待定数组的部分了。摩天楼比较遗憾，这个例子用不了摩天楼去找额外删数。

如图所示。 ## 例子 5：外部双 RCC 的 ALS-XZ 环我们再来看一个比较复杂一些的、用双 RCC 的 ALS-XZ 的外部环。我没开玩笑，这次真的很复杂。

如图所示。需要证明的强链关系是 `5r1c1=35r8c5`。是的，`r8c5(35)` 两个候选数将作为同一个节点用于环里。它的下一个节点是 `r2c5(257)`，也是一个同单元格、多候选数的节点。这个环非常可怕。不过证明起来，更可怕。

如图所示。当两端节点同假时，双 RCC 的 ALS-XZ 会造成矛盾。这个结构这么大，它是如何矛盾的呢？我们不妨按两个待定数组拆开去数一下填数的状态。显然，拆开看之后有 2 个待定数组：`r179c1(5678)` 一个，而 `r8c235789(3456789)` 又是一个。那么 RCC 呢？显然是图中的 5 和 7 了。因为安排数字的时候，双 RCC 的 ALS-XZ 本质上也是一个环。既然是环，那么就意味着环路任意相邻的两个节点都是一真一假。对于 5 和 7 而言，环意味着两个连接状态是一真一假，也就是说，属于 `r179c1(5678)` 的数字 5（即 `r9c1(5)`）和属于 `r8c235789(3456789)` 的数字 5（即 `r8c2(5)`）是一真一假的状态；同理，`r7c1(7)` 和 `r8c3(7)` 也是一真一假。那么这么数一下填数你就会发现有问题。基于最初 `r1c1(5)` 和 `r8c5(35)` 同假的假设，余下的候选数分配的话： * `r179c1` 要填 6 和 8；5 和 7 只能填 1 个； * `r8c235789` 要填 4、6、8、9；3 没了，5 和 7 也只能选一个填。这么数一下的话，2（6 和 8 都填）+ 1（5 和 7 只能填 1 个）+ 4（4、6、8、9 都填）+ 1（5 和 7 只能填 1 个）= 8，但是总体单元格数量是 9 个。这根本不够填，所以就造成了矛盾。是的，这很可怕。不过好在我们知道了矛盾是可以得到的。因此，强链关系是成立的。外部环成立。删数呢？删数也挺可怕的，有这一些：

如图所示。这些删数是可以得到的。当然，你也可以说因为删了这些之后可以得到 `r2c7 = 2` 于是又可以多一些删数。不过这显然不在结构可以造成的删数范围之内，是推出后的结论。其中，`r4c1(6)` 和 `r8c6(4)` 是来自于双 RCC 的 ALS-XZ 的删数，其他的删数则是待定数组和普通的弱链关系就可以造成的删数。不过这个题还有一个比较隐蔽的删数：`r7c8(9)`。你可以自己想一想为什么可以删。 ## 例子 6：外部二阶鳍鱼环我们来看最后一个例子。这个例子难度也不小。

如图所示。这里我们要解释的是 `3r4c2=9r3c1`。这个说起来比较麻烦，因为它要传递过去需要依赖两次鱼结构，所以画图也不是很好体现，所以我一步一步拆开画。假设 `r4c2(3)` 为假，则有一个鳍鱼结构：

如图所示。这样可以得到 `r5c4(3)` 为假。

然后我们可以得到显性数对删掉 `r5c5(9)`，即 `r5c5(9)` 为假。

接着，我们又有二阶鱼成立，得到 `r3c7(9)` 为假的结论。于是，`r3c1(9)` 必须为真。这样传递过去的。非常麻烦是不是？那么，删数的话，如图所示：

如图所示。首先弱链关系可以删除 `r4c2(78)` 和 `r6c3(7)`，然后 6 和 9 的显性数对结构可以删除 `r5c56(6)`，最后是关于 3 的二阶鳍鱼造成了删数 `r5c5(3)`。当时在利用二阶鳍鱼的时候，我们是走的 `r5c4(3)` 为真，但 `r5c5(3)` 确实在此时也是作为删数存在的，因为它能够被鳍鱼删除。因此，这个题整体有这些删数。至此，外部环的内容就全部结束了。 --- # Agent Instructions This documentation is published with GitBook. GitBook is the documentation platform designed so that both humans and AI agents can read, navigate, and reason over technical content effectively. Learn more at gitbook.com. ## Querying This Documentation If you need additional information that is not directly available in this page, you can query the documentation dynamically by asking a question. Perform an HTTP GET request on the current page URL with the `ask` query parameter, and the optional `goal` query parameter: ``` GET https://sudoku.kazusa.tech/construction/07-external-loop/02-external-loop-example.md?ask=&goal= ``` `ask` is the immediate question: it should be specific, self-contained, and written in natural language. `goal` is optional and describes the broader end goal you are ultimately trying to accomplish on behalf of the user. GitBook uses it to tailor the answer towards what is most useful for that goal. The response will contain a direct answer to the question and relevant excerpts and sources from the documentation. Use this mechanism when the answer is not explicitly present in the current page, you need clarification or additional context, or you want to retrieve related documentation sections.