自增和自减

不知道你是否在平时使用秩理论的时候遇到过这种问题：

“为什么有些时候，结构的强弱区域数量是固定的，但实际上我试着往里填了数字却根本达不到数量？”

这便是今天我们要来学习的内容。

强区域自增现象

引例

如图所示。这是之前介绍过的一个例子，不过这里改用了秩的画法来呈现。

首先，这个题的秩是没办法直接算的，因为这个结构用到了 4 个强三元组：r4c6(34) 和 r9c1(12)。你说它强三元组就强三元组吧，1 和 2 还落在同一个单元格；3 和 4 也是。这反而造成了分析的复杂程度的提升。

我们这里用一下上帝视角。经过枚举之后，我们可以知道的是，烟花四数组的填法一共有 8 个情况，且每一种可能均只能填 6 个数字进去。具体枚举就不呈现了，因为重点不在这里。

重点是，明明有 8 个强区域，却实际上只能填 6 个数进去。虽然我们都知道，强三元组可能是会造成填一个数就会影响到两个强区域的这个特征，但这也太恐怖了，穷举全部情况之后发现根本就不存在比 6 更多次数的填入。

那么这是怎么来的呢？

局部结构分析

我们将这个题里用到的 8 个强弱区域拆开看。我们先看左下角 1 和 2 的这一部分，然后我们暂时忽略掉 b7 其他位置的 1 和 2（因为讲解期间用不上他们）。

如图所示。这能看出来个什么呢？别急。首先我们知道，1 和 2 必须在强区域里填入一次，理应 4 个强区域会安排 4 个数字的填入，两个 1 和两个 2。

但是，这个结构有一个特殊的地方：r9c1 只允许最多放入 1 或 2 的其中一个数。也就是说，只要我们往里面填了 1 就不能填 2（或者反之亦然）。而另外一个数呢？因为强区域的关系，余下一个数一定不会成为强三元组，所以它必须填两次。也就是说，这个局部结构其实最多只能填 3 个数进去（要么俩 1 和一个 2，要么俩 2 和一个 1）。

那么，能比它更少吗？显然是不能的。因为，你必须要同时满足 4 个强区域都有数填入。最差的摆放也必须要有一个位置占在 r9c1 上——你无法摆 4 个及以上的 1 或 2 到这个局部结构里去（因为再多数字就放不下了）；2 个及以下也不可能，因为你没那么多强三元组可以放（一个强三元组只能最多让两个强区域都有填入，但对于 4 个强区域而言，只填 2 个数 + 1 个强三元组是根本不够的）。

也就是说，对于烟花数组而言，1 和 2 的局部结构即使有 4 个强区域，但实际上我们只能填 3 个数进去就能让 4 个强区域都有填入，而且也只能是 3 个数，不能多也不能少。

当然，烟花数组里我们还用到 b7 里其中的一些 1 和 2，因为它会用作结构的删数，而且也确实客观存在这些数字。不过这都不重要，因为我们检查填入次数的时候，这些位置有 1 和 2 也不会影响结论的成立（必须填 3 个）。我们把实际填充次数达不到强区域数量这么多的局部结构称为强区域自增现象（Auto-increment Truths）。因为此现象只跟强区域有关系，所以一般也简称自增现象或直接称呼为自增。

实例

下面我们来看一个自增现象的实例。

如图所示。这是一个烟花数对（Firework Pair）技巧。之前我们提到过，烟花数组要成立必须至少需要 3 个数（或者说结构能稳定出现在题目里，必须要 3 个数字及以上），但实际上两个数也可以构成，不过需要给结构动手脚加点东西才能稳定存在。

我们这次添加了 r1c5 和 r5c9 两个单元格。诶，有 W-Wing 的味道了。实际上不是哈。我们来分析一下这个的推理过程。

先是 19c1 和 19r9 这四个强区域。我们刚才说过，这四个强区域只能填 3 个数进去。对于这个题而言，就是要么俩 1 一个 9，要么就是俩 9 一个 1。具体哪一个数出现两次并不重要，重要的是 r9c1 一定会被占位。

接着是分析 b7 这些多出来的 1 和 9。分析它干啥呢？因为他们的出现会影响 1 和 9 实际的摆放位置。比如说我这个结构填俩 1 和一个 9 的话，显然 9 必须落在 r9c1，那么 1 还要填俩，那放哪里呢？r7c1 和 r9c23 这三处是肯定只能安排一个 1 的，因为你无法在同一个宫里填两个 1 进去。那么这么说的话，数字 1 势必会有一个落在要么 r1c1 要么 r9c9 这两个单元格里。

也就是说，如果是数字 9 填一次的话，我们可以得到 r1c1 和 r9c9 里必须有 1 的出现；那么如果是 1 填一次的话，那么也可以得到 9 必须在 r1c1 或 r9c9 里出现。总之，r1c1 和 r9c9 肯定会有 1 或 9 的出现。

既然得到这一点了，后面就好说了。因为 1 或 9 必须出现的缘故，结合 r1c5 和 r5c9 这两个单元格我们就可以得到保证：如果 r1c1 是填 1 或 9 的，则 r1c15 会形成显性数对；如果 r9c9 是填 1 或 9 的，那么 r59c9 则会构成显性数对。所以，r1c9 不论哪一个显性数对会成立，都可以被删除掉 9。所以这个题的结论就是 r1c9 <> 9 了。

我们再来看一个例子。

如图所示。这个例子和刚才那个差不多，不过是两个烟花数对要联立起来才能看。首先是 12c1 和 12r9 这一个局部结构可以得到 1 和 2 肯定会出现在要么 r5c1 里要么 r9c5 里，然后是 12r1 和 12c9 这一个局部结构可以得到 1 和 2 肯定会出现在要么 r1c5 里要么 r5c9 里。

因为这一共有 4 个单元格，所以最终 1 和 2 的填数组合是如何的，我们并不清楚。但是，r5c5 告诉我们，“没事的兄弟，r19c5 和 r5c19 里只要有 1 或 2 出现就会有显性数对”。

实际上呢？实际上的确如此。就比如说 r5c1 和 r9c5，这俩肯定会有 1 或 2 的安排，如果填在 r5c1 里，那么 r5 就能形成数对；如果填在 r9c5 上，那么 c5 就能形成数对。但是，具体填在行上还是列上我们并不知晓，不过另外一个烟花数对结合起来看就不会有问题了。

因为另外一个烟花数对也会让要么行上要么列上出现一个数对，所以显然他们不能同时都出现在列上，因为 r5c5 只有两个候选数，同时出现在列上要么会造成 r5c5 无法填数，要么 r19c5 或 r5c19 填的数一样，总之肯定都不行。所以，1 和 2 的填数就像是上天安排好了一样，行和列都会有数对且肯定会出现的。

别的删数就不说了，因为就是普通的烟花数组的删数；虽然这个结构只是个烟花数对，但它的删数在这个结构里肯定也都能成立，不是说只有烟花三数组才会成立。不过我希望你自己去分析余下的删数。

弱区域自减现象

引例

如图所示。这是一个胖姨环。这个题一共有 6 个强区域 6n18、269n5 和 1b7，以及 8 个弱区域 123r6、1r9、1c1 和 159c5。

这个例子里 2、3、5、9 都最多只能填一次，而由于数字都各不相同，所以在 r2c5、r6c158 和 r9c5 这 5 个单元格里最多会有四个席位给 2、3、5、9 填入。那么剩下俩呢？只能是 1 了，因为没别的数字了。

但是，1 现在有 4 个弱区域（1c15 和 1r59）和一个强区域 1b7。尤其是这个 r6c5 这个位置，数字 1 在这里甚至在行列上都找不到强区域可以容纳这个 1，反倒是它现在处于 6n5 这个强区域里，和 2、3、5、9 共享其中一个。

那么 1 到底要怎么安排才合理呢？固定填两次就行。为什么呢？

首先，我们要保证 1b7 必须填 1，所以它会占用一次填 1 的名额；而余下的 5 个单元格里就算极限一些，把 2、3、5、9 都安排一个进去，也会剩下一个空格无法填数。所以剩下的那个位置就必须再填一个 1 来使得结构的 1 填够次数。所以，1 必须填两个；而很显然，1 肯定也不会出现三次及以上（因为放不下）。所以 1 还就只能有且仅有两个。

那么这么看的话，正常的放入情况就是 1 必须填 2 个（虽然有四个弱区域）。这样的话，2、3、5、9 显然都可以用于删数（因为他们都会出现）；而 1 则不知道两处的 1 分别在哪里，所以 1r6 和 1c5 里哪边有 1 是并不知道的，所以无法删数。所以这个结构的结论就只有 2、3、5、9 可提供删数。

我们把实际填充次数达不到弱区域数量的情况称为弱区域自减现象（Auto-decrement Links）；同理，它也可以简称为自减现象或自减。

实例

如图所示。这个题一共有 5 个强区域和 7 个弱区域。和刚才一样，数字 3 形成了自减，所以虽然标了 4 个弱区域，但实际只能填两次：其他的数字 1、5、7 则刚好最多都只能放一个，所以安排下来，1 必须填入两个才行。

所以删数就按 1、5、7 弱区域删数即可；3 因为无法确定哪两个，所以无法删数。

我们再来看一个题。

如图所示。这是另一个胖姨环用法。首先，这个结构用到了 7 个强区域和 7 个弱区域。数字 9 这次学乖了，r6c9 原本这种单元格上应该有它的出现，这次它没有。

显然，2、5、6、7、8 这五个数字都只能最多出现一次，而余下两个数字的填入机会必须安排 9 填进去，才能凑够 7 个强区域都有数填入。那么，什么时候 9 能填两次呢？对了，只要让 9r2 和 9c6 都出现 9 就行。不过，要注意的是，整个结构有 6 个单元格强区域，如果我们将 9 安排在 r2c6 的话，会造成余下 6 个单元格强区域无法填够 6 个数字（因为 2、5、6、7、8 只能填 5 个席位，还有一个必须安排 9）。所以，r2c6 这个弱三元组是没有机会填 9 的。因此，这个题的其中一个 9 必须放在要么 r2c9 要么 r6c6 里，另外一个放在 1b2 里（而且还不能是 r2c6）。所以，9c6 和 9r2 这两个弱区域不能用作删数（因为具体哪一个弱区域有 9 不确定），但 r2c6 <> 9 可以作为删数结论出现。

是的，这个题里因为 r6c9 没 9 了之后，9 的摆放机会会少很多。原本是三个位置里出现一个，现在是两个位置就出现一个。

最后来看一个例子。

如图所示。这个题比较难数，但是有自减的知识储备之后就会比较好理解一些了。这个题一共有 9 个强区域和 13 个弱区域。其中，1、2、7 有自噬/自减现象出现，而 5、6、8 则都只能最多出现一次。

显然，因为有 9 个强区域的安排，所以 1、2、7 必须每一个数都出现两次才行。这样一来，2 + 2 + 2 + 1 + 1 + 1 = 9，刚好就占满了全部的 9 个强区域。弱区域就不用多说了（主要是 2 和 7，都有 4 个弱区域，但实际上他俩都只能填两次，所以 8 个弱区域实际上生效的填入只有 4 个）；另外，数字 1 只能出现两次，它不是自减，所以 1 在 1c9 和 1r9 里会出现一次，故 r9c9 轮不到填 1，它也可以用作删数。

其他补充内容

这个概念来自于我的一个朋友，他之前对一些结构的整体分析秩有一定研究。不过他本人比较害羞，所以这里就只提及他本人的昵称——小舟。

小舟之前在贴吧里写了几篇关于秩理论的讨论和推算的帖子，其中有一篇跟本文有关系。教程下一篇会继续探讨秩的计算规则和一些复杂结构的常见属性特征等等。之后也会在适合的适合给出帖子的链接。